Uma escada de 25 pés está encostada na parede de uma casa e sua base está sendo empurrada no sentido contrário ao da parede. Num certo instante, a base da escada se encontra a 7 pés da parede e está sendo empurrada a uma taxa de 2 pés por segundo.
Calcule a taxa de variação do ângulo formado pela parede da casa e a escada, quando a base da escada estiver a 7 pés da parede.
Calcule a taxa de variação do ângulo formado pela parede da casa e a escada, quando a base da escada estiver a 7 pés da parede.
Passo 1
O enunciado descreve uma escada de comprimento
pés apoiada na parede, cuja base se afasta a
pés por segundo num certo instante em que está a
pés da parede. Queremos achar a taxa de variação do ângulo
formado entre a escada e a parede (vertical). Para isso, usaremos geometria de triângulo retângulo e derivadas implícitas.
Passo 2
Sejam
a distância da base da escada até a parede e
a altura do topo da escada na parede. Como o comprimento da escada é constante igual a
pés, temos a relação
Passo 3
Derivando essa relação em função do tempo
, obtemos
e, portanto,
Passo 4
Denotando por
o ângulo entre a escada e a parede, no vértice superior temos
Derivando em relação a
:
Passo 5
No instante dado
pés e
ft/s. Então
e
Logo
Resposta
A taxa de variação do ângulo
é
rad/s.