Uma escada de 25 pés está encostada na parede de uma casa e sua base está sendo empurrada no sentido contrário ao da parede. Num certo instante, a base da escada se encontra a 7 pés da parede e está sendo empurrada a uma taxa de 2 pés por segundo.
Calcule a taxa de variação do ângulo formado pela parede da casa e a escada, quando a base da escada estiver a 7 pés da parede.

Passo 1

O enunciado descreve uma escada de comprimento 25 pés apoiada na parede, cuja base se afasta a 2 pés por segundo num certo instante em que está a 7 pés da parede. Queremos achar a taxa de variação do ângulo alpha formado entre a escada e a parede (vertical). Para isso, usaremos geometria de triângulo retângulo e derivadas implícitas.

Passo 2

Sejam x(t) a distância da base da escada até a parede e y(t) a altura do topo da escada na parede. Como o comprimento da escada é constante igual a 25 pés, temos a relação
x^2 + y^2 = 25^2

Passo 3

Derivando essa relação em função do tempo t, obtemos
2x,dxdt + 2y,dydt = 0
e, portanto,
dydt = -xy,dxdt

Passo 4

Denotando por alpha o ângulo entre a escada e a parede, no vértice superior temos
cosalpha = y25
Derivando em relação a t:
-sinalpha,dalphadt = 125,dydt Longrightarrow dalphadt = -tfracdydt25,sinalpha

Passo 5

No instante dado x = 7 pés e tfracdxdt=2 ft/s. Então
y = raiz25^2 - 7^2 = 24 pés, é
dydt = -724cdot 2 = -712 ft/s,
e
sinalpha = x25 = 725
Logo
dalphadt = --tfrac71225cdottfrac725 = tfrac7127 = 112 rad/s

Resposta

A taxa de variação do ângulo alpha é 112 rad/s.

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