Calcule a integral trocando a ordem de integração.
integral0^8 integralraiz[3]y^2 e^x^4 d x d y

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
integral0^8integralraiz[3]y^2 e^x^4 ,dx,dy
trocando a ordem de integração. O conteúdo usado é geometria do domínio de integração e substituição em integrais simples.

Passo 2

Vamos descrever a região R no plano (x,y). As desigualdades são
0 <= y <= 8, raiz[3]y <= x <= 2
Da condição raiz[3]y<= x segue y<= x^3. Como raiz[3]y>=0, temos também x>=0. Logo
R = (x,y)mid 0<= x<=2,;0<= y<= x^3

Passo 3

Trocando a ordem de integração sobre R, obtemos
integral0^2integral0^x^3 e^x^4 ,dy,dx

Passo 4

Calculamos primeiro a integral interna em y:
integral0^x^3 e^x^4 ,dy = e^x^4cdotl[yr]0^x^3 = x^3e^x^4

Passo 5

Agora integramos em x:
integral0^2 x^3e^x^4 ,dx
Fazendo t = x^4, dt = 4x^3dx, dá
integral0^2 x^3e^x^4 ,dx = 14integral0^16 e^t,dt = 14l[e^tr]0^16 = e^16-14

Resposta

e^16-14

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