Determine a série de Taylor da seguinte função, em torno do ponto dado:
f(x)=sen(x), x0=pi3

Passo 1

O enunciado pede a série de Taylor de f(x)=sin x em torno de x0=tfracpi3. Para isso vamos usar a fórmula geral de Taylor:
f(x)=sumn=0^inftyf^(n)(x0)n!,(x-x0)^n

Passo 2

Calcular as derivadas de sin x e observar a repetição periódica de período 4:
f(x)=sin x, f'(x)=cos x, f''(x)=-sin x, f^(3)(x)=-cos x, f^(4)(x)=sin x,;dots

Passo 3

Avaliar essas derivadas em x0=tfracpi3. Usando sin(pi/3)=tfracraiz32 e cos(pi/3)=tfrac12 obtém-se
f^(n)l(tfracpi3r)= tfracraiz32,&nequiv0pmod4, tfrac12,&nequiv1pmod4, -tfracraiz32,&nequiv2pmod4, -tfrac12,&nequiv3pmod4

Passo 4

Substituir na fórmula de Taylor e escrever a forma geral:
sin x=sumn=0^inftyf^(n)(pi/3)n!,(x-tfracpi3)^n

Passo 5

Listar os primeiros termos para ver o padrão:
sin x =raiz32 +12,(x-tfracpi3) -raiz32,(x-tfracpi3)^22! -12,(x-tfracpi3)^33! +raiz32,(x-tfracpi3)^44! +cdots

Resposta

boxed sin x =raiz32 +12,(x-tfracpi3) -raiz32,(x-tfracpi3)^22! -12,(x-tfracpi3)^33! +raiz32,(x-tfracpi3)^44! +cdots

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