Determine a série de Taylor da seguinte função, em torno do ponto dado:
f(x)=e^x, x0=2

Passo 1

O enunciado pede a série de Taylor de f(x)=e^x em torno de x0=2.
O conteúdo usado será a definição de série de Taylor de uma função infinitamente diferenciável num ponto x0.

Passo 2

A série de Taylor de uma função f em torno de x0 é dada por
f(x)=sumn=0^inftyf^(n)(x0)n!,(x - x0)^n,
onde f^(n)(x0) é a n-ésima derivada de f avaliada em x0.

Passo 3

Para f(x)=e^x temos todas as derivadas iguais a si mesma, ou seja,
f^(n)(x)=e^x Longrightarrow f^(n)(2)=e^2 para todo n>=0

Passo 4

Substituindo f^(n)(2)=e^2 e x0=2 na fórmula da série de Taylor, obtemos
e^x =sumn=0^inftye^2n!,(x-2)^n =e^2sumn=0^infty(x-2)^nn!
Essa série converge para todo xinR (raio de convergência infinito).

Resposta

e^x =e^2sumn=0^infty(x-2)^nn!

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