Determine qual ou quais das funções y1(x)=x^2, y2(x)=x^3 e y3(x)=e^-x são soluções da equação:
(x+3) y^prime prime+(x+2) y^prime-y=0
[Resp: apenas y y3 é solução]

Passo 1

O enunciado pede para verificar quais das funções
;y1(x)=x^2,;y2(x)=x^3 e ;y3(x)=e^-x satisfazem a EDO
(x+3),y''+(x+2),y'-y=0
O conteúdo aqui é “teste de solução” em EDO linear de segunda ordem com coeficientes variáveis: basta calcular y', y'' e substituir na equação.

Passo 2

Teste em y1(x)=x^2. Usando a regra de potência:
y1'(x)=2x, y1''(x)=2
Substituindo na EDO:
(x+3)cdot 2 + (x+2)cdot (2x) - x^2 =2x+6 +2x^2+4x - x^2 =x^2+6x+6neq0
Logo, y1 não é solução.

Passo 3

Teste em y2(x)=x^3. Derivadas:
y2'(x)=3x^2, y2''(x)=6x
Na EDO:
(x+3)cdot(6x) + (x+2)cdot(3x^2) - x^3 =6x^2+18x +3x^3+6x^2 - x^3 =2x^3+12x^2+18xneq0
Logo, y2 não é solução.

Passo 4

Teste em y3(x)=e^-x. Pela regra da cadeia:
y3'(x)=-e^-x, y3''(x)=e^-x
Substituindo:
(x+3),e^-x + (x+2),(-e^-x) - e^-x =e^-xl[(x+3)-(x+2)-1r] =e^-xcdot0 =0
Isso mostra que y3 satisfaz a EDO.

Resposta

Apenas y3(x)=e^-x é solução da equação diferencial dada.

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