Use a técnica da separação de variáveis para resolver as seguintes equações e/ou P.V.I:
Observação: Ao resolver as equações separáveis, tome cuidado com indefinições das funções que aparecem na integração, por exemplo ao dividir por uma função que possa se
anular. Separe esses casos e analise separadamente. Lembrem que a função logaritmo não está definida para números negativos, considere log (|y|) quando for o caso.
y^prime(x)=a y(x), com a in R

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial de primeira ordem
y'(x)=a,y(x),
onde ainR. O método é separação de variáveis e devemos lembrar de incluir a solução trivial y=0 e, ao integrar, usar ln(|y|) para abarcar valores positivos e negativos de y.

Passo 2

Verificamos primeiro a solução trivial. Se y(x)equiv0, então y'(x)=0 e a equação fica 0 = acdot0, que é satisfeita para todo a. Logo
y(x)=0
é uma solução válida.

Passo 3

Agora suponha y(x)neq0. Podemos separar variáveis escrevendo
dydx=a,yLongrightarrow 1y,dy = a,dx

Passo 4

Integramos os dois lados:
integral 1y,dy = integral a,dx
o que dá
lnl|yr| = a,x + C1,
onde C1 é constante de integração.

Passo 5

Exponenciando, obtemos
l|yr| = e^,a x + C1 = e^C1,e^a x
Definindo C = pm e^C1inR, concluímos
y(x) = C,e^a x,
que engloba tanto as soluções positivas quanto negativas ( C=0 retorna a trivial).

Resposta

A solução geral da equação y'=a,y é
boxedy(x)=C,e^a x, CinR
Se houver condição inicial y(x0)=y0, então C=y0,e^-a x0 e
y(x)=y0,e^a(x-x0)

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