Calcule a integral trocando a ordem de integração.

Passo 1

O enunciado nos dá a integral dupla
integral0^1 integralx^1 e^x/y , dy , dx,
e pede para trocarmos a ordem de integração. Vamos usar o Teorema de Fubini, que permite inverter integrais quando a função é contínua no domínio de integração, e depois calcular passo a passo.

Passo 2

O domínio de integração é
D = (x,y)mid 0 <= x <= 1,; x <= y <= 1
Reescrevendo trocando a ordem, fixamos y primeiro: y vai de 0 até 1, e para cada y o x varia de 0 até y. Logo
integral0^1 integralx^1 e^x/y , dy , dx = integral0^1 integral0^y e^x/y , dx , dy

Passo 3

Agora integramos primeiro em x:
integral0^y e^x/y , dx
Fazendo a mudança de variável t = tfracxy, temos dx = y , dt, quando x=0 t=0 e x=y t=1. Então
integral0^y e^x/y , dx = integral0^1 e^t,(y,dt) = y integral0^1 e^t , dt = y (e - 1)

Passo 4

Volta a integrar em y:
integral0^1 y (e - 1) , dy = (e - 1) integral0^1 y , dy = (e - 1)l[tfracy^22r]0^1 = tfrace - 12

Resposta

tfrace - 12

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