Calcule a integral trocando a ordem de integração.

Passo 1

O enunciado pede para calcular
integral0^8integralraiz[3]y^2e^x^4,dx,dy
trocando a ordem de integração.
O conteúdo envolvido é de integrais duplas e mudança de ordem de integração, e depois faremos uma substituição para resolver o integral simples que surgir.

Passo 2

Vamos identificar a região R no plano (x,y). Pelos limites originais temos
0 <= y <= 8, raiz[3]y <= x <= 2
A condição raiz[3]y<= x equivale a y<= x^3, e assim
R = (x,y)mid 0<= y<= 8,;raiz[3]y<= x<= 2 =(x,y)mid 0<= x<= 2,;0<= y<= x^3

Passo 3

Invertendo a ordem de integração, x varia de 0 a 2 e, para cada x, y varia de 0 a x^3. Logo a integral vira
integralx=0^2integraly=0^x^3e^x^4,dy,dx

Passo 4

Dentro dessa nova ordem, integramos primeiro em y, tratando e^x^4 como constante em relação a y:
integral0^2l[integral0^x^3e^x^4,dyr]dx =integral0^2e^x^4l(y)0^x^3,dx =integral0^2x^3e^x^4,dx

Passo 5

Para calcular
integral0^2x^3e^x^4,dx
fazemos a substituição u=x^4, de modo que du=4x^3dx, ou seja x^3dx=tfracdu4. Quando x vai de 0 a 2, u vai de 0 a 16. Assim
integral0^2x^3e^x^4,dx =integralu=0^16e^u,du4 =14l[e^ur]0^16 =14l(e^16-1r)

Resposta

e^16-14

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