Estude a convergência ou divergência das séries abaixo.
sumn=1^infty 1n!

Passo 1

O enunciado pede para estudar a convergência da série sumn=1^infty tfrac1n!. O conteúdo principal é séries numéricas e vamos usar o teste da razão para investigar convergência absoluta.

Passo 2

Seja an = tfrac1n!. No teste da razão, calculamos o limite
L = limn to infty | an+1an | = limn to infty 1/(n+1)!1/n! = limn to infty n!(n+1)! = limn to infty 1n+1 = 0

Passo 3

Como L = 0 < 1, o teste da razão garante que a série converge absolutamente. Portanto, a série sumn=1^infty tfrac1n! é convergente.

Passo 4

Opcionalmente, podemos observar que a soma dessa série é e - 1, já que e = sumn=0^infty tfrac1n!.

Resposta

A série converge absolutamente (e portanto converge).

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