Calcule a integral trocando a ordem de integração.
integral0^1 integralarcsin y^pi / 2 cos x raiz1+cos ^2 x dx dy

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
integral0^1integralarcsin y^pi/2cos xraiz1+cos^2 x,dx,dy
trocando a ordem de integração. O conteúdo envolve descrever a região de integração no plano (x,y) e depois avaliar a integral iterada.

Passo 2

A região está dada por
0<= y<=1, arcsin y<= x<= pi2
Como arcsin y<= x equivale a y<=sin x e arcsin y só varia entre 0 e pi2, podemos reescrever
0<= x<= pi2, 0<= y<=sin x

Passo 3

Trocando a ordem de integração, obtemos
integral0^1integralarcsin y^pi/2cos xraiz1+cos^2 x,dx,dy = integral0^pi2integral0^sin xcos xraiz1+cos^2 x,dy,dx

Passo 4

Integramos primeiro em y:
integral0^sin xdy = sin x,
logo a integral fica
integral0^pi2cos x,raiz1+cos^2 x,sin x,dx

Passo 5

Fazemos a substituição
u = 1+cos^2 x, du = -2cos x,sin x,dx
cos x,sin x,dx = -tfrac12,du,
com x=0implies u=2 e x=pi2implies u=1. Assim
integral0^pi2cos x,raiz1+cos^2 x,sin x,dx = integral2^1raizu,l(-tfrac12,dur) = tfrac12integral1^2u^tfrac12,du
Calculando,
tfrac12integral1^2u^tfrac12,du = tfrac12cdottfrac23l[u^tfrac32r]1^2 = tfrac13l(2^tfrac32-1r) = tfrac13l(2raiz2-1r)

Resposta

13l(2raiz2-1r)

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