Usando multiplicadores de Lagrange encontre os extremos
Da função f(x, y)=y^2-x^2 na elipse x^2+4 y^2=4,

Passo 1

O enunciado pede para encontrar os extremos de f(x,y)=y^2 - x^2 sujeitos à restrição da elipse
x^2 + 4y^2 = 4
O método a usar é o dos multiplicadores de Lagrange, que consiste em resolver
nabla f = lambda ,nabla g,
onde g(x,y)=x^2+4y^2-4.

Passo 2

Definimos a função de Lagrange
L(x,y,lambda) = f(x,y) - lambdal(g(x,y)r) = l(y^2 - x^2r) - lambdal(x^2 + 4y^2 - 4r)
Em seguida, calculamos as derivadas parciais e igualamos a zero:
partial Lpartial x = -2x - 2lambda x = 0,
partial Lpartial y = 2y - 8lambda y = 0,
partial Lpartial lambda = -(x^2 + 4y^2 - 4) = 0

Passo 3

Do sistema
(-2 - 2lambda)x = 0, (2 - 8lambda)y = 0, x^2 + 4y^2 = 4,
temos as seguintes possibilidades:
Caso A: x=0.
Da restrição vem 4y^2=4, ou seja y=pm1. Como yneq0, a segunda equação exige 2-8lambda=0, logo lambda=tfrac14.
Caso B: y=0.
Da restrição vem x^2=4, ou seja x=pm2. Como xneq0, a primeira equação exige -2-2lambda=0, logo lambda=-1.

Passo 4

Assim, os pontos críticos na elipse são:
(0,1), (0,-1), (2,0), (-2,0)
Calculamos f em cada um:
f(0,pm1)=1^2-0=1, f(pm2,0)=0- (2)^2 = -4

Passo 5

Comparando os valores de f:
  • Maior valor f=1 ocorre em (0,1) e (0,-1).
  • Menor valor f=-4 ocorre em (2,0) e (-2,0).

Resposta

Pontos de máximo: (0,1) e (0,-1) com f=1.
Pontos de mínimo: (2,0) e (-2,0) com f=-4.

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