Usando multiplicadores de Lagrange encontre os extremos
Da função
na elipse
,
Da função
Passo 1
O enunciado pede para encontrar os extremos de
sujeitos à restrição da elipse
O método a usar é o dos multiplicadores de Lagrange, que consiste em resolver
onde
.
Passo 2
Definimos a função de Lagrange
Em seguida, calculamos as derivadas parciais e igualamos a zero:
Passo 3
Do sistema
temos as seguintes possibilidades:
Caso A:
.
Da restrição vem , ou seja
. Como
, a segunda equação exige
, logo
.
Da restrição vem
Caso B:
.
Da restrição vem , ou seja
. Como
, a primeira equação exige
, logo
.
Da restrição vem
Passo 4
Assim, os pontos críticos na elipse são:
Calculamos
em cada um:
Passo 5
Comparando os valores de
:
- Maior valor
ocorre em e . - Menor valor
ocorre em e .
Resposta
Pontos de máximo:
e
com
.
Pontos de mínimo: e
com
.
Pontos de mínimo: