Usando multiplicadores de Lagrange encontre os extremos
Da função f(x, y)=x^2+2 y^2 no círculo x^2+y^2=1,

Passo 1

O enunciado pede para encontrar os extremos de
f(x,y)=x^2+2y^2
sujeito à restrição
g(x,y)=x^2+y^2=1
O método de multiplicadores de Lagrange diz que nos extremos a curva de nível de f é tangente à restrição, ou seja,
nabla f = lambda,nabla g

Passo 2

Formamos o lagrangiano
L(x,y,lambda)=f(x,y)-lambdal(g(x,y)-1r) =x^2+2y^2-lambdal(x^2+y^2-1r)
As condições de otimalidade são
partial Lpartial x=2x-2lambda x=0,
partial Lpartial y=4y-2lambda y=0,
partial Lpartial lambda=-(x^2+y^2-1)=0

Passo 3

Das duas primeiras equações temos
x(1-lambda)=0,
y(2-lambda)=0,
e da terceira x^2+y^2=1. Analisando casos:
  1. Se x=0, então y^2=1implies y=pm1. Como yneq0, da segunda equação vem lambda=2. Pontos: (0,1) e (0,-1).
  2. Se y=0, então x^2=1implies x=pm1. Como xneq0, da primeira equação vem lambda=1. Pontos: (1,0) e (-1,0).
O caso xneq0 e yneq0 levaria a lambda=1 e lambda=2 simultâneos, impossível.

Passo 4

Calculamos f nos candidatos:
f(pm1,0)=(pm1)^2+2cdot0^2=1,
f(0,pm1)=0^2+2cdot(pm1)^2=2
Assim f atinge valor mínimo 1 em (pm1,0) e valor máximo 2 em (0,pm1).

Resposta

Pontos de mínimo global: (pm1,0) com f=1.
Pontos de máximo global: (0,pm1) com f=2.

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