Inverta a ordem de integração.

Passo 1

A questão dá a integral iterada integral1^el[integralln(x)^xf(x,y),dyr]dx. O conteúdo aqui é inversão da ordem de integração de uma integral dupla sobre a região D definida por 1<= x<= e e ln(x)<= y<= x. Vamos analisar a região e determinar os novos limites.

Passo 2

Para entender D, note que suas fronteiras são as curvas y=ln(x), y=x e as retas verticais x=1 e x=e. Um jeito fácil de inverter a ordem é pensar em fatias horizontais: fixamos um y e achamos quais x satisfazem ln(x)<= y<= x.

Passo 3

Precisamos achar o intervalo de y. Observando y>=ln(x) com 1<= x<= e, o mínimo de y ocorre em (x=1,y=ln1=0) e o máximo de y na curva y=x em x=e, ou seja y=e. Porém, o comportamento muda em y=1 porque em y<1 a condição y<= x é sempre satisfeita quando x>=1, enquanto para y>1 a condição ln(x)<= y é automática para x<= e.

Passo 4

Para 0<= y<=1, a única restrição não trivial é ln(x)<= y, que equivale a x<= e^y, junto com x>=1. Logo xin[1,e^y].

Passo 5

Para 1<= y<= e, a restrição ln(x)<= y vale para todo xin[1,e], mas é preciso y<= x. Portanto xin[y,e].

Passo 6

Assim a integral invertida fica:
integraly=0^1integralx=1^e^yf(x,y),dx,dy;+ integraly=1^eintegralx=y^ef(x,y),dx,dy

Resposta

integral0^1integral1^e^yf(x,y),dx,dy + integral1^eintegraly^ef(x,y),dx,dy

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