Inverta a ordem de integração.
Passo 1
A questão dá a integral iterada
. O conteúdo aqui é inversão da ordem de integração de uma integral dupla sobre a região
definida por
e
. Vamos analisar a região e determinar os novos limites.
Passo 2
Para entender
, note que suas fronteiras são as curvas
,
e as retas verticais
e
. Um jeito fácil de inverter a ordem é pensar em fatias horizontais: fixamos um
e achamos quais
satisfazem
.
Passo 3
Precisamos achar o intervalo de
. Observando
com
, o mínimo de
ocorre em
e o máximo de
na curva
em
, ou seja
. Porém, o comportamento muda em
porque em
a condição
é sempre satisfeita quando
, enquanto para
a condição
é automática para
.
Passo 4
Para
, a única restrição não trivial é
, que equivale a
, junto com
. Logo
.
Passo 5
Para
, a restrição
vale para todo
, mas é preciso
. Portanto
.
Passo 6
Assim a integral invertida fica: