1. Calcule a integral, trocando a ordem de integração:
\int_{0}^{1} \int_{2 x}^{2} y^{2} \sin (2 \pi x y) d y d x

Passo 1

O enunciado nos dá a integral
\int_{0}^{1}\int_{2x}^{2} y^{2}\sin(2\pi x y)\,dy\,dx.
O conteúdo envolve troca de ordem de integração em uma integral dupla sobre uma região do plano. Para resolver precisamos:
  1. Descrever geometricamente a região de integração.
  2. Escrever a integral trocando a ordem de integração.
  3. Calcular as integrais internas resultantes.

Passo 2

A região de integração é
D = \{(x,y)\mid 0\le x\le1,\;2x\le y\le2\}.
Para inverter a ordem, observe que, para cada y fixo, a desigualdade 2x\le y e x\le1 implica
0\le x\le \min\bigl(1,\tfrac{y}{2}\bigr).
Como y varia de 0 a 2, nota-se que \tfrac{y}{2}\le1. Logo a troca de ordem fica
\int_{0}^{1}\int_{2x}^{2}y^{2}\sin(2\pi x y)\,dy\,dx =\int_{y=0}^{2}\int_{x=0}^{y/2}y^{2}\sin(2\pi x y)\,dx\,dy.

Passo 3

Calcule a integral interna em x:
\int_{0}^{y/2}y^{2}\sin(2\pi x y)\,dx =y^{2}\int_{0}^{y/2}\sin(2\pi y x)\,dx.
Usando
\int \sin(2\pi y x)\,dx =-\frac{1}{2\pi y}\cos(2\pi y x),
temos
\int_{0}^{y/2}y^{2}\sin(2\pi x y)\,dx =y^{2}\left[-\frac{1}{2\pi y}\cos(2\pi x y)\right]_{0}^{y/2} =-\frac{y}{2\pi}\bigl(\cos(\pi y^{2})-1\bigr).

Passo 4

Substituindo em I,
I =\int_{0}^{2}\Bigl(-\frac{y}{2\pi}[\cos(\pi y^{2})-1]\Bigr)\,dy =-\frac{1}{2\pi}\int_{0}^{2}y\cos(\pi y^{2})\,dy +\frac{1}{2\pi}\int_{0}^{2}y\,dy.
Para a primeira integral use u=\pi y^{2}, du=2\pi y\,dy, obtendo
\int_{0}^{2}y\cos(\pi y^{2})\,dy =\frac{1}{2\pi}\int_{0}^{4\pi}\cos u\,du =\frac{1}{2\pi}[\,\sin u\,]_{0}^{4\pi} =0.
A segunda integral é imediata:
\int_{0}^{2}y\,dy =\Bigl[\frac{y^{2}}{2}\Bigr]_{0}^{2} =2.
Logo
I =0+\frac{1}{2\pi}\cdot2 =\frac{1}{\pi}.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{\pi}

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