Os seguintes problemas são sobre energia e potência de sinais.
b) Como se comporta a energia de z(t)=e^{-|t|},-\infty<t<\infty, compara à energia de z_{1}(t)=e^{-t} u(t) ? Trace cuidadosamente os dois sinais.

Passo 1

O enunciado pede para comparar as energias dos sinais
z(t) = e^{-|t|},\quad -\infty<t<\infty
e
z_{1}(t) = e^{-t}\,u(t),
onde u(t) é o degrau unitário. O conteúdo é cálculo de energia de sinais contínuos.

Passo 2

Antes de calcular, vamos descrever e “traçar” qualitativamente cada sinal:
  • Para z(t): é uma função par, com pico em t=0 valendo z(0)=1, que decai exponencialmente tanto para t>0 (como e^{-t}) quanto para t<0 (como e^{t}).
  • Para z_{1}(t): é nula para t<0 e decai exponencialmente a partir de t=0, com z_{1}(0)=1 e para t>0, z_{1}(t)=e^{-t}.

Passo 3

Calculamos a energia de z_{1}(t). Por definição,
E_{1} = \int_{-\infty}^{\infty} \bigl|z_{1}(t)\bigr|^{2} \,dt = \int_{0}^{\infty} \bigl(e^{-t}\bigr)^{2} dt = \int_{0}^{\infty} e^{-2t}\,dt.
Como
\int_{0}^{\infty} e^{-2t}\,dt = \left[-\tfrac{1}{2}e^{-2t}\right]_{0}^{\infty} = \tfrac{1}{2},
temos
E_{1} = \tfrac{1}{2}.

Passo 4

Agora a energia de z(t):
E = \int_{-\infty}^{\infty} \bigl(e^{-|t|}\bigr)^{2} dt = \int_{-\infty}^{\infty} e^{-2|t|}\,dt.
Como a função é par,
E = 2 \int_{0}^{\infty} e^{-2t}\,dt = 2 \cdot \tfrac{1}{2} = 1.

Passo 5

Comparando os resultados:
E = 1, \qquad E_{1} = \tfrac{1}{2}.
Logo, z(t) tem o dobro da energia de z_{1}(t). Ambos são sinais de energia finita (nenhum possui potência média não nula).

Resposta

\displaystyle E\bigl\{z(t)\bigr\}=1,\quad E\bigl\{z_{1}(t)\bigr\}=\tfrac12,
portanto z(t) tem o dobro da energia de z_{1}(t).

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