Suponha que o valor y foi investido numa conta de poupança na qual os juros são continuamente capitalizados numa taxa constante de 5.5 \% ao ano. A equação y^{\prime}=k y descreve a taxa de crescimento do montante investido, onde k é a taxa de juros. Se R85000 foram inicialmente investidos, qual é o montante após 3 anos?

Passo 1

O enunciado trata de juros continuamente capitalizados, modelo de crescimento exponencial dado pela equação diferencial
y' = k\,y
onde k é a taxa de juros anual contínua. Vamos precisar resolver essa EDO com condição inicial y(0)=85000.

Passo 2

Para resolver
y' = k\,y
separamos variáveis e integramos:
\frac{dy}{y} = k\,dt \quad\Longrightarrow\quad \int \frac{dy}{y} = \int k\,dt \quad\Longrightarrow\quad \ln|y| = kt + C.
Exponenciando, obtemos a solução geral
y(t) = C_1 e^{kt}.
Usando y(0)=85000 C_1=85000, logo
y(t)=85000\,e^{kt}.

Passo 3

Aqui k=5{,}5\% ao ano, ou seja k=0{,}055. Queremos o montante em t=3 anos:
y(3)=85000\,e^{0{,}055\cdot3} =85000\,e^{0{,}165}.

Passo 4

Calculando numericamente e^{0{,}165}\approx1{,}17958, temos
y(3)\approx85000\times1{,}17958\approx100163{,}31.

Resposta

R$ 100163,31 aproximadamente.

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