Calcule a integral trocando a ordem de integração.
integral0^1 integralx^1 e^x / y d y d x

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral
integral0^1integralx^1e^x/y,dy,dx
trocando a ordem de integração. O conteúdo envolve integração dupla e descrição da região de integração no plano.

Passo 2

A região de integração é
0 <= x <= 1, x <= y <= 1,
o que pode ser reescrito, invertendo a ordem, como
0 <= y <= 1, 0 <= x <= y

Passo 3

Trocando a ordem de integração, a integral fica
integral0^1integral0^ye^x/y,dx,dy
Para integrar em x, usamos a substituição u = x/y, de modo que dx = y,du e os limites vão de u=0 a u=1. Assim,
integral0^ye^x/y,dx = integral0^1e^u,y,du = yl[e^ur]0^1 = y(e-1)

Passo 4

Substituindo na integral externa, temos
integral0^1y(e-1),dy =(e-1)integral0^1y,dy =(e-1)l[tfracy^22r]0^1 =e-12

Resposta

e-12

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