Verifique se as funções a seguir são continuas:
F(x)=x^2-3 x-4x-4

Passo 1

O enunciado pede para verificar a continuidade da função racional
F(x)=x^2-3x-4x-4
O conteúdo é continuidade de funções, em especial descontinuidades de funções racionais. Para resolver vamos (i) determinar o domínio de F, (ii) fatorar e simplificar a expressão e (iii) analisar a continuidade em pontos do domínio e em x=4.

Passo 2

O domínio de uma função racional é todos os que não anulam o denominador. Aqui o denominador é , logo

Passo 3

Para simplificar, fatoramos o numerador x^2-3x-4. Procurando raízes, notamos que
x^2-3x-4=(x-4)(x+1)
Substituindo em F, obtemos
F(x)=(x-4)(x+1)x-4
Para xneq4 podemos cancelar o fator x-4, ficando
F(x)=x+1, xneq4

Passo 4

A função simplificada é polinomial, portanto contínua em todo . Como a igualdade vale para todo , concluímos que é contínua em cada ponto de , ou seja em .

Passo 5

Falta analisar x=4. Calculamos o limite lateral único:
limxto4F(x)=limxto4(x+1)=5
Mas F(4) não está definido, então há descontinuidade em x=4. Como o limite existe e é finito, trata-se de uma descontinuidade removível.

Resposta

A função F é contínua em todos os xneq4 e apresenta descontinuidade removível em x=4.

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