Verifique se as funções a seguir são continuas:
g(x)= x^2+x-6x+3 & se x neq-3 1 & se x=-3

Passo 1

Então, o que a gente tem aqui é uma função chamada g(x) que é definida de duas maneiras diferentes: uma quando x não é igual a -3 e outra quando x é exatamente -3. A questão pede para saber se essa função é contínua, ou seja, se não tem “saltos” ou “buracos” no seu gráfico. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é continuidade e verificar os limites da função nesses pontos específicos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma função é contínua em um ponto se três condições forem satisfeitas:
  1. A função está definida nesse ponto.
  2. O limite da função quando x se aproxima desse ponto existe.
  3. O limite da função é igual ao valor da função nesse ponto.
No nosso caso, o ponto suspeito é x = -3 , porque a definição da função muda ali.

Passo 3

Vamos analisar o que acontece quando x se aproxima de -3. Para x neq -3 , a função é x^2 + x - 6x + 3 . Podemos simplificar essa expressão:
x^2 + x - 6 = (x + 3)(x - 2)
Então,
x^2 + x - 6x + 3 = (x + 3)(x - 2)x + 3
Se x neq -3 , podemos cancelar o x + 3 :
(x + 3)(x - 2)x + 3 = x - 2

Passo 4

Agora, vamos calcular o limite da função quando x se aproxima de -3:
limx to -3 g(x) = limx to -3 (x - 2) = -3 - 2 = -5

Passo 5

Sabemos que g(-3) = 1 pela definição da função. Agora, comparamos esse valor com o limite que calculamos:
limx to -3 g(x) = -5
g(-3) = 1
Como -5 neq 1, o limite da função quando x se aproxima de -3 não é igual ao valor da função nesse ponto.

Resposta

A função g(x) não é contínua em x = -3 , porque o limite quando x se aproxima de -3 é diferente do valor da função nesse ponto.

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