são os vértices de um triângulo. b) Determine a área do triângulo .
Passo 1
O enunciado dá três pontos no espaço
e pede duas coisas:
Mostrar que eles são vértices de um triângulo (isto é, não estão alinhados).
Calcular a área do triângulo .
O conteúdo usado será geometria vetorial: vetores, teste de colinearidade e produto vetorial para área.
Passo 2
Primeiro montamos os vetores e AC subtraindo coordenadas:
AB=B-A=(3-1,;1-(-1),;5-2)=(2,2,3),
AC=C-A=(2-1,;-3-(-1),;4-2)=(1,-2,2)
Passo 3
Para ver se A,B,C são colineares bastaria checar se existe escalar t tal que AB=t,AC.
Pela primeira componente teríamos 2=tcdot1Rightarrow t=2, mas então a segunda daria 2=2cdot(-2)=-4, absurdo.
Logo não existe t que satisfaça todas as componentes, isto é, AB e AC não são colineares.
Portanto A,B,C formam um triângulo.
Passo 4
A área do triângulo é
Área=12l|ABtimesACr| Á
Calculemos o produto vetorial em forma de determinante:
ABtimesAC = i & j & k 2 & 2 & 3 1 & -2 & 2 =i(2cdot2-3cdot(-2))-j(2cdot2-3cdot1)+k(2cdot(-2)-2cdot1) =(10,;-1,;-6)