Questão 2.(2.0) a) Prove que os pontos
A=(1,-1,2), B=(3,1,5), C=(2,-3,4)
são os vértices de um triângulo. b) Determine a área do triângulo A B C.

Passo 1

O enunciado dá três pontos no espaço
A=(1,-1,2), B=(3,1,5), C=(2,-3,4)
e pede duas coisas:
  1. Mostrar que eles são vértices de um triângulo (isto é, não estão alinhados).
  2. Calcular a área do triângulo ABC.
    O conteúdo usado será geometria vetorial: vetores, teste de colinearidade e produto vetorial para área.

Passo 2

Primeiro montamos os vetores AB e AC subtraindo coordenadas:
AB=B-A=(3-1,;1-(-1),;5-2)=(2,2,3),
AC=C-A=(2-1,;-3-(-1),;4-2)=(1,-2,2)

Passo 3

Para ver se A,B,C são colineares bastaria checar se existe escalar t tal que AB=t,AC.
Pela primeira componente teríamos 2=tcdot1Rightarrow t=2, mas então a segunda daria 2=2cdot(-2)=-4, absurdo.
Logo não existe t que satisfaça todas as componentes, isto é, AB e AC não são colineares.
Portanto A,B,C formam um triângulo.

Passo 4

A área do triângulo é
Área=12l|ABtimesACr| Á
Calculemos o produto vetorial em forma de determinante:
ABtimesAC = i & j & k 2 & 2 & 3 1 & -2 & 2 =i(2cdot2-3cdot(-2))-j(2cdot2-3cdot1)+k(2cdot(-2)-2cdot1) =(10,;-1,;-6)

Passo 5

O módulo desse vetor é
l|(10,-1,-6)r| =raiz10^2+(-1)^2+(-6)^2 =raiz100+1+36 =raiz137
Logo a área do triângulo ABC é
Área=12raiz137 Á

Resposta

a) Os pontos não são colineares, logo formam um triângulo.
b) Área=12raiz137Á

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