Suponha que uma gota d’água escorra sobre o plano de equação a partir do ponto e sujeita apenas à força de gravidade. Nesse caso, a gota d’água segue a trajetória que minimiza a energia potencial, isto é, que minimiza a altura.
a) Calcule o gradiente da função cujo gráfico é o plano .
Resposta:
b) Justifique a afirmação de que a projeção da trajetória da gota d’água sobre o plano é uma reta.
Resposta:
c) Obtenha uma parametrização da reta mencionada no item anterior.
Resposta:
d) Obtenha uma parametrização da trajetória da partícula sobre o plano .
Resposta:
e) Verifique que a gota d’água se desloca ao longo de uma reta sobre o plano , e determine o vetor direção desta reta.
Resposta:
Passo 1
Beleza, vamos resolver o item a) desse exercício. Primeiramente, o enunciado nos pede para calcular o gradiente da função , cujo gráfico é o plano de equação .
Aqui, estamos falando sobre gradiente, que em cálculo multivariável, é um vetor que aponta na direção de maior aumento de uma função. No caso, como é função de e , o gradiente de vai nos dar informações sobre como varia conforme nos movemos no plano .
Passo 2
Primeiro, vamos expressar em função de e . A equação do plano é:
Isolando :
Passo 3
Agora, para encontrar o gradiente de , que é denotado por , precisamos calcular as derivadas parciais de em relação a e a .
A derivada parcial de em relação a é:
E a derivada parcial de em relação a é:
Passo 4
Com essas derivadas, o gradiente de é o vetor formado por essas derivadas:
Passo 5
Vamos agora para o item b). Aqui, precisamos justificar por que a projeção da trajetória da gota d’água sobre o plano é uma reta.
A projeção de uma trajetória em um plano consiste em “baixar” todos os pontos da trajetória nesse plano. Se a projeção for uma reta, isso significa que, no plano , a trajetória se comporta linearmente.
Passo 6
Sabemos que a gota d’água move-se de forma a minimizar a energia potencial, ou seja, minimiza a altura no plano . Como a força de gravidade está atuando, a direção do movimento está relacionada ao gradiente da função altura.
Do item a), temos que , que aponta na direção de maior descida no plano .
Passo 7
Como o gradiente é constante (pois o plano é plano e os coeficientes são fixos), a direção da descida é sempre a mesma. Isso implica que a projeção da trajetória no plano segue uma direção constante, ou seja, uma reta.
Passo 8
Portanto, a trajetória projetada é uma reta porque a direção do movimento (dados pelo gradiente) permanece constante ao longo de todo o percurso da gota d’água.
Passo 9
Agora, vamos resolver o item c), que pede uma parametrização da reta mencionada no item anterior.
Sabemos que a projeção da trajetória é uma reta no plano e que a direção dessa reta está relacionada ao gradiente .
Passo 10
Para parametrizar uma reta, precisamos de um ponto inicial e de um vetor diretor. Podemos usar o ponto , que está no plano , e projetar seu posicionamento no plano , que é .
O vetor diretor é dado pelo gradiente , que determina a direção da reta.
Passo 11
Assim, a parametrização da reta no plano [\mathcal{O}xy) pode ser escrita como:
onde (t] é o parâmetro real.
Passo 12
Esta parametrização descreve todos os pontos da reta projetada, começando em e seguindo a direção definida pelo vetor .
Passo 13
Passando para o item d), precisamos obter uma parametrização da trajetória da partícula sobre o plano .
Sabemos que a projeção da trajetória no plano é uma reta parametrizada por e .
Passo 14
Para encontrar a coordenação , usamos a equação do plano :
Substituindo e :
Passo 15
Vamos resolver para :
Passo 16
Portanto, a parametrização completa da trajetória no plano é:
Passo 17
Finalmente, vamos ao item e), que solicita verificar que a gota d’água se desloca ao longo de uma reta sobre o plano P e determinar o vetor direção dessa reta.
Já estabelecemos que a trajetória projetada no plano Oxy é uma reta, e obtivemos uma parametrização completa da trajetória no plano P .
Passo 18
Observando a parametrização obtida no item d):
x(t) = 1 - t y(t) = 1 - 2t z(t) = 5t + 2
Podemos notar que todas as coordenadas são funções lineares de t , indicando que a trajetória é uma reta no espaço tridimensional.
Passo 19
O vetor direção da reta pode ser determinado pelos coeficientes de t nas parametrizações:
d = (-1, -2, 5)
Passo 20
Portanto, o deslocamento da gota d’água ocorre ao longo de uma reta no plano P , com vetor direção d = (-1, -2, 5) .
Resposta
A gota d’água se desloca ao longo de uma reta no plano P com vetor direção d = (-1, -2, 5) .