Suponha que uma gota d’água escorra sobre o plano P de equação x+2 y+z=5 a partir do ponto P0=(1,1,2) in P e sujeita apenas à força de gravidade. Nesse caso, a gota d’água segue a trajetória que minimiza a energia potencial, isto é, que minimiza a altura.
a) Calcule o gradiente da função z(x, y) cujo gráfico é o plano P.
Resposta: square
b) Justifique a afirmação de que a projeção da trajetória da gota d’água sobre o plano O x y é uma reta.
Resposta: square
c) Obtenha uma parametrização da reta mencionada no item anterior.
Resposta: square
d) Obtenha uma parametrização da trajetória da partícula sobre o plano P.
Resposta: square
e) Verifique que a gota d’água se desloca ao longo de uma reta sobre o plano P, e determine o vetor direção desta reta.
Resposta: square

Passo 1

Beleza, vamos resolver o item a) desse exercício. Primeiramente, o enunciado nos pede para calcular o gradiente da função z(x, y) , cujo gráfico é o plano P de equação x + 2y + z = 5 .
Aqui, estamos falando sobre gradiente, que em cálculo multivariável, é um vetor que aponta na direção de maior aumento de uma função. No caso, como z é função de x e y , o gradiente de z(x, y) vai nos dar informações sobre como z varia conforme nos movemos no plano P .

Passo 2

Primeiro, vamos expressar z em função de x e y . A equação do plano é:
x + 2y + z = 5
Isolando z :
z(x, y) = 5 - x - 2y

Passo 3

Agora, para encontrar o gradiente de z(x, y) , que é denotado por nabla z , precisamos calcular as derivadas parciais de z em relação a x e a y .
A derivada parcial de z em relação a x é:
partial zpartial x = -1
E a derivada parcial de z em relação a y é:
partial zpartial y = -2

Passo 4

Com essas derivadas, o gradiente de z é o vetor formado por essas derivadas:
nabla z = ( partial zpartial x, partial zpartial y ) = (-1, -2)

Passo 5

Vamos agora para o item b). Aqui, precisamos justificar por que a projeção da trajetória da gota d’água sobre o plano Oxy é uma reta.
A projeção de uma trajetória em um plano consiste em “baixar” todos os pontos da trajetória nesse plano. Se a projeção for uma reta, isso significa que, no plano Oxy , a trajetória se comporta linearmente.

Passo 6

Sabemos que a gota d’água move-se de forma a minimizar a energia potencial, ou seja, minimiza a altura no plano P . Como a força de gravidade está atuando, a direção do movimento está relacionada ao gradiente da função altura.
Do item a), temos que nabla z = (-1, -2) , que aponta na direção de maior descida no plano P .

Passo 7

Como o gradiente é constante (pois o plano é plano e os coeficientes são fixos), a direção da descida é sempre a mesma. Isso implica que a projeção da trajetória no plano Oxy segue uma direção constante, ou seja, uma reta.

Passo 8

Portanto, a trajetória projetada é uma reta porque a direção do movimento (dados pelo gradiente) permanece constante ao longo de todo o percurso da gota d’água.

Passo 9

Agora, vamos resolver o item c), que pede uma parametrização da reta mencionada no item anterior.
Sabemos que a projeção da trajetória é uma reta no plano Oxy e que a direção dessa reta está relacionada ao gradiente nabla z = (-1, -2) .

Passo 10

Para parametrizar uma reta, precisamos de um ponto inicial e de um vetor diretor. Podemos usar o ponto P0 = (1, 1, 2) , que está no plano P , e projetar seu posicionamento no plano Oxy , que é (1, 1) .
O vetor diretor é dado pelo gradiente nabla z = (-1, -2) , que determina a direção da reta.

Passo 11

Assim, a parametrização da reta no plano [\mathcal{O}xy) pode ser escrita como:
onde (t] é o parâmetro real.

Passo 12

Esta parametrização descreve todos os pontos da reta projetada, começando em (1, 1) e seguindo a direção definida pelo vetor (-1, -2) .

Passo 13

Passando para o item d), precisamos obter uma parametrização da trajetória da partícula sobre o plano P .
Sabemos que a projeção da trajetória no plano Oxy é uma reta parametrizada por x(t) = 1 - t e y(t) = 1 - 2t .

Passo 14

Para encontrar a coordenação z(t) , usamos a equação do plano P :
x(t) + 2y(t) + z(t) = 5
Substituindo x(t) e y(t) :
(1 - t) + 2(1 - 2t) + z(t) = 5

Passo 15

Vamos resolver para z(t) :
1 - t + 2 - 4t + z(t) = 5 3 - 5t + z(t) = 5 z(t) = 5t + 2

Passo 16

Portanto, a parametrização completa da trajetória no plano P é:
x(t) = 1 - t y(t) = 1 - 2t z(t) = 5t + 2 para t in R

Passo 17

Finalmente, vamos ao item e), que solicita verificar que a gota d’água se desloca ao longo de uma reta sobre o plano P e determinar o vetor direção dessa reta.
Já estabelecemos que a trajetória projetada no plano Oxy é uma reta, e obtivemos uma parametrização completa da trajetória no plano P .

Passo 18

Observando a parametrização obtida no item d):
x(t) = 1 - t y(t) = 1 - 2t z(t) = 5t + 2
Podemos notar que todas as coordenadas são funções lineares de t , indicando que a trajetória é uma reta no espaço tridimensional.

Passo 19

O vetor direção da reta pode ser determinado pelos coeficientes de t nas parametrizações:
d = (-1, -2, 5)

Passo 20

Portanto, o deslocamento da gota d’água ocorre ao longo de uma reta no plano P , com vetor direção d = (-1, -2, 5) .

Resposta

A gota d’água se desloca ao longo de uma reta no plano P com vetor direção d = (-1, -2, 5) .

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