Resolva os problemas de valor inicial (PVI).
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema de valor inicial que envolve uma equação diferencial. A equação que temos é:
Aqui, estamos lidando com uma equação diferencial de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar separar as variáveis e integrar ambos os lados. Vamos por partes!
Passo 2
Primeiro, vamos reorganizar a equação para deixar
sozinho. Temos:
Subtraindo
de ambos os lados:
Passo 3
Agora, vamos separar as variáveis
e
. Isso significa colocar todas as expressões envolvendo
de um lado e as de
do outro. Para isso, dividimos ambos os lados por
:
Multiplicando ambos os lados por
:
Passo 4
Agora que temos as variáveis separadas, podemos integrar ambos os lados. Vamos integrar em relação a
e
:
Passo 5
Resolvendo as integrações:
A integral de
em relação a
é:
A integral de
em relação a
é:
Então, temos:
Passo 6
Vamos multiplicar ambos os lados por
para simplificar:
Onde
é uma constante nova.
Passo 7
Agora, usamos a condição inicial
para encontrar o valor de
. Substituindo
e
:
Calculando:
Passo 8
Substituindo
de volta na equação:
Para isolar
, elevamos ambos os lados à potência de
:
Resposta
A solução do problema de valor inicial é: