Resolva os problemas de valor inicial (PVI).
raiz(t) + raiz(y) * y' = 0, y(1) = 4

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema de valor inicial que envolve uma equação diferencial. A equação que temos é:
Aqui, estamos lidando com uma equação diferencial de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar separar as variáveis e integrar ambos os lados. Vamos por partes!

Passo 2

Primeiro, vamos reorganizar a equação para deixar sozinho. Temos:
Subtraindo de ambos os lados:

Passo 3

Agora, vamos separar as variáveis e . Isso significa colocar todas as expressões envolvendo de um lado e as de do outro. Para isso, dividimos ambos os lados por :
Multiplicando ambos os lados por :

Passo 4

Agora que temos as variáveis separadas, podemos integrar ambos os lados. Vamos integrar em relação a e :

Passo 5

Resolvendo as integrações:
A integral de em relação a é:
A integral de em relação a é:
Então, temos:

Passo 6

Vamos multiplicar ambos os lados por para simplificar:
Onde é uma constante nova.

Passo 7

Agora, usamos a condição inicial para encontrar o valor de . Substituindo e :
Calculando:

Passo 8

Substituindo de volta na equação:
Para isolar , elevamos ambos os lados à potência de :

Resposta

A solução do problema de valor inicial é:

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