Resolva as equações diferenciais de variáveis separáveis dadas:
Definição: Uma equação diferencial da forma M(t)+N(y) y^prime=0 ou M(t) d t+ N(t) d y=0 é dita uma equação diferencial de variáveis separáveis e sua solução geral é dada por:
integral M(t) d t=-integral N(y) d y+C
(2+t) y^prime=3 y Res.: y=C(t+2)^3

Passo 1

Vamos resolver a equação diferencial dada:
(2 + t) , y' = 3y
Esse tipo de equação é uma equação diferencial de variáveis separáveis. Isso significa que conseguimos “separar” os termos que envolvem integral M(t) , dt = -integral N(y) , dy + C dos termos que envolvem , facilitando a resolução. Para resolver esse tipo de equação, usamos a seguinte fórmula geral:
onde e são funções de e , respectivamente, e é a constante de integração.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação para separar as variáveis y' = 3y2 + t e dydt = 3y2 + t . Começamos isolando 1y , dy = 32 + t , dt :
Lembrando que é a derivada de em relação a (ou seja, ), temos:
Agora, vamos separar as variáveis e para lados opostos da equação:

Passo 3

Com as variáveis separadas, podemos integrar ambos os lados da equação:
integral 1y , dy = integral 32 + t , dt
A integral do lado esquerdo é:
integral 1y , dy = ln|y|
E a integral do lado direito é:
integral 32 + t , dt = 3 ln|2 + t|
Então, após integrar, temos:
ln|y| = 3 ln|2 + t| + C

Passo 4

Agora, vamos resolver para y = e^3 ln|2 + t| + C exponenciando ambos os lados da equação para eliminar o logaritmo:
y = e^C cdot e^3 ln|2 + t| = C cdot (2 + t)^3
Podemos simplificar isso usando propriedades dos logaritmos:
Aqui, é uma constante que podemos chamar de , já que representa uma constante arbitrária.

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
y = C(2 + t)^3

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