Resolva as equações diferenciais de variáveis separáveis dadas:
Definição: Uma equação diferencial da forma
ou
é dita uma equação diferencial de variáveis separáveis e sua solução geral é dada por:
Res.:
Definição: Uma equação diferencial da forma
Passo 1
Vamos resolver a equação diferencial dada:
Esse tipo de equação é uma equação diferencial de variáveis separáveis. Isso significa que conseguimos “separar” os termos que envolvem
dos termos que envolvem
, facilitando a resolução. Para resolver esse tipo de equação, usamos a seguinte fórmula geral:
onde
e
são funções de
e
, respectivamente, e
é a constante de integração.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação para separar as variáveis
e
. Começamos isolando
:
Lembrando que
é a derivada de
em relação a
(ou seja,
), temos:
Agora, vamos separar as variáveis
e
para lados opostos da equação:
Passo 3
Com as variáveis separadas, podemos integrar ambos os lados da equação:
A integral do lado esquerdo é:
E a integral do lado direito é:
Então, após integrar, temos:
Passo 4
Agora, vamos resolver para
exponenciando ambos os lados da equação para eliminar o logaritmo:
Podemos simplificar isso usando propriedades dos logaritmos:
Aqui,
é uma constante que podemos chamar de
, já que
representa uma constante arbitrária.
Resposta
A solução geral da equação diferencial é: