Calcule a integral, trocando a ordem de integração:
integral0^1 integral2 x^2 y^2 sin (2 pi x y) d y d x
Resp.: 1pi.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
integral0^1integral2x^2y^2sinl(2pi x yr),dy,dx
trocando a ordem de integração. O conteúdo principal aqui é entender a região de integração no plano (x,y) e usar a integral iterada via Teorema de Fubini.

Passo 2

Vamos descrever a região D dada por
0<= x<=1, 2x<= y<=2
Para inverter a ordem, é conveniente enxergar para cada y fixo quais x valem. A condição 2x<= y é equivalente a x<= tfrac y2. Como x>=0 e x<=1, e y varia originalmente entre 2x e 2, concluímos que
0<= y<=2, 0<= x<= y2

Passo 3

Reescrevendo a integral trocando a ordem de integração, obtemos
integral0^2integral0^y/2y^2sinl(2pi x yr),dx,dy

Passo 4

Calculemos primeiro a integral interna em x. Fixe y e faça a substituição
u = 2pi x y, du = 2pi y,dx Longrightarrow dx = du2pi y
Quando x=0, u=0; quando x=y/2, u=pi y^2. Assim
integral0^y/2sin(2pi x y),dx = integral0^pi y^2sin(u),du2pi y = 12pi yl[1-cos(pi y^2)r]
Multiplicando por y^2, a integral interna vira
y^2cdot12pi yl[1-cos(pi y^2)r] = y2pil[1-cos(pi y^2)r]

Passo 5

Agora avaliamos a integral externa em y:
integral0^2y2pil[1-cos(pi y^2)r],dy = 12piintegral0^2y,dy ;-;12piintegral0^2ycos(pi y^2),dy
  1. integral0^2y,dy = l[y^2/2r]0^2=2
  2. Para integral0^2ycos(pi y^2),dy, use t=pi y^2, dt=2pi y,dy, isto é, y,dy=dt/(2pi). Os limites vão de t=0 a t=4pi. Logo
integral0^2ycos(pi y^2),dy = 12piintegral0^4picos t,dt = 12pil[sin tr]0^4pi =0

Passo 6

Substituindo de volta, temos
12picdot 2 ;-;12picdot 0 = 1pi

Resposta

1pi

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