Calcule a integral, trocando a ordem de integração:
Resp.:
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral
trocando a ordem de integração. O conteúdo principal aqui é entender a região de integração no plano
e usar a integral iterada via Teorema de Fubini.
Passo 2
Vamos descrever a região
dada por
Para inverter a ordem, é conveniente enxergar para cada
fixo quais
valem. A condição
é equivalente a
. Como
e
, e
varia originalmente entre
e
, concluímos que
Passo 3
Reescrevendo a integral trocando a ordem de integração, obtemos
Passo 4
Calculemos primeiro a integral interna em
. Fixe
e faça a substituição
Quando
,
; quando
,
. Assim
Multiplicando por
, a integral interna vira
Passo 5
Agora avaliamos a integral externa em
:
-
- Para
, use , , isto é, . Os limites vão de a . Logo
Passo 6
Substituindo de volta, temos