Considere o campo vetorial F=y(x y z, z^3, y^3). Seja S a superfície dada pela equação z=raiz4-x^2-y^2, orientada de modo que n cdot k>0. O valor da integral integral duplaS F cdot n d S é:

Passo 1

O enunciado pede o fluxo do campo
vec F = l(xy^2z,;y z^3,;y^4r)
através da superfície S dada por
z = raiz4 - x^2 - y^2,
orientada para cima (isto é, vec ncdotvec k>0).
O conteúdo é cálculo de fluxo em gráfico de função z=f(x,y), usando a fórmula
integral duplaSvec Fcdotvec n,dS =integral duplaDvec Fl(x,y,f(x,y)r)cdotl(-fx,,-fy,,1r),dA

Passo 2

Aqui f(x,y)=raiz4-x^2-y^2. Calculamos
fx = -xraiz4-x^2-y^2=-xz, fy = -yz
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vec n,dS = l(-fx,,-fy,,1r),dA =l(xz,,yz,,1r),dA
Em S, vec F=(x y^2 z,;y z^3,;y^4), então
vec Fcdotvec n,dS =x y^2 zcdotxz + y z^3cdotyz + y^4cdot1 = x^2y^2 ;+; y^2z^2 ;+; y^4;dA

Passo 3

Usamos coordenadas polares no domínio D:;x=rcostheta,;y=rsintheta,;0<= r<=2,;0<=theta<2pi.
Então z^2=4-r^2 e
x^2y^2 = r^4cos^2thetasin^2theta, y^2z^2 = r^2sin^2theta,(4-r^2), y^4 = r^4sin^4theta,
com dA=r,dr,dtheta. O fluxo vira
integral0^2pi!!integral0^2 l(r^4cos^2thetasin^2theta +r^2sin^2theta(4-r^2) +r^4sin^4thetar),r,dr,dtheta

Passo 4

Separamos em três integrais:
  1. integral0^2picos^2thetasin^2theta,dtheta=pi4,
    integral0^2 r^5,dr=2^66=323
  2. integral0^2pisin^2theta,dtheta=pi,
    integral0^2r^3(4-r^2),dr=163
  3. integral0^2pisin^4theta,dtheta=3pi4,
    integral0^2r^5,dr=323
    Somando os produtos:
pi4cdot323 ;+;picdot163;+;3pi4cdot323 = 8pi3 + 16pi3 + 8pi = 16pi

Resposta

O valor da integral de fluxo é 16pi.

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