Seja S a superfície de equação paramétrica r(u, v)=(u+v, u-v, u^2+v^2). Determine a equação do plano tangente a S no ponto P0=r(0,0).

Passo 1

O enunciado dá a superfície paramétrica
r(u,v) = (,u+v,;u-v,;u^2+v^2)
e pede o plano tangente em P0 = r(0,0).
Para isso, vamos calcular as derivadas parciais ru e rv, avaliá-las em (0,0) para obter vetores tangentes, usar o produto vetorial para achar o vetor normal N e então escrever
Ncdot(X-P0)=0
como equação do plano.

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais:
ru(u,v) = partialpartial u(u+v,;u-v,;u^2+v^2) = (1,,1,,2u),
rv(u,v) = partialpartial v(u+v,;u-v,;u^2+v^2) = (1,,-1,,2v)

Passo 3

Avaliamo-as em (u,v)=(0,0):
ru(0,0) = (1,,1,,0), rv(0,0) = (1,,-1,,0)
O ponto corresponde a
P0 = r(0,0) = (0,0,0)

Passo 4

O vetor normal ao plano tangente é dado por
N = ru(0,0)timesrv(0,0) = (1,1,0)times(1,-1,0)
Calculando o produto vetorial:
N = l(1cdot0 - 0cdot(-1),; 0cdot1 - 1cdot0,; 1cdot(-1) - 1cdot1r) = (0,,0,,-2)
Podemos usar N=(0,0,1), pois basta um vetor normal.

Passo 5

A equação do plano tangente em P0=(0,0,0) com vetor normal N=(0,0,1) é
0,(x-0) + 0,(y-0) + 1,(z-0) = 0,
ou seja,
z = 0

Resposta

A equação do plano tangente a S em P0 é
z = 0

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