Calcule a integral usando coordenadas esféricas
integral triplaB x^2+y^2+z^2 d V

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral tripla usando coordenadas esféricas! O enunciado pede para calcular
integral triplaB x^2+y^2+z^2 , dV
Aqui, estamos lidando com cálculo de integrais múltiplas no espaço tridimensional. Vamos precisar conhecer as coordenadas esféricas e como transformar a integral para esse sistema.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que x^2 + y^2 + z^2 representa. Em coordenadas cartesianas, isso é igual a r^2 nas coordenadas esféricas, onde r é a distância do ponto até a origem.

Passo 3

Agora, precisamos lembrar como é a transformação para coordenadas esféricas:
x = r sinphi costheta y = r sinphi sintheta z = r cosphi
E o elemento de volume dV em coordenadas esféricas é dado por:
dV = r^2 sinphi , dr , dphi , dtheta

Passo 4

Substituindo x^2 + y^2 + z^2 = r^2 e o dV, a integral fica:
integral triplaB r^2 cdot r^2 sinphi , dr , dphi , dtheta = integral triplaB r^4 sinphi , dr , dphi , dtheta

Passo 5

Vamos definir os limites de integração. Como não foi especificado, vamos supor que B é a esfera unitaria (raio 1). Assim:
r in [0, 1] phi in [0, pi] theta in [0, 2pi]

Passo 6

Agora, vamos integrar em relação a r:
integral0^1 r^4 , dr = [ r^55 ]0^1 = 15

Passo 7

Em seguida, integramos em relação a phi:
integral0^pi sinphi , dphi = [ -cosphi ]0^pi = -cospi + cos0 = 2

Passo 8

Por último, integramos em relação a theta:
integral0^2pi dtheta = 2pi

Resposta

Multiplicando todos os resultados:
15 times 2 times 2pi = 4pi5
Então, o valor da integral é boxeddfrac4pi5.

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