Encontre a solução do problema de valor inicial:
l y^prime prime+8 y^prime-9 y=0 y(1)=1 y^prime(1)=0
Escolha uma opção:
y=13+5 raiz1326 exp [(raiz13-5) t2]+13-5 raiz1326 exp [-(raiz13+5) t2]

Passo 1

O exercício pede pra resolver o PVI de uma EDO homogênea de 2º ordem com coeficientes constantes:
y''+8y'-9y=0, sujeita a y(1)=1 e y'(1)=0. Vamos usar o método do polinômio característico e ajustar as constantes pelas condições iniciais.

Passo 2

Formamos a equação característica associada:
r^2+8r-9=0
Calculamos o discriminante: De. Portanto as raízes são
r=-8pmraiz1002=-8pm102,
isto é, r1=1 e r2=-9.

Passo 3

A solução geral da EDO homogênea é combinação linear das exponenciais nas raízes:
y(t)=C1exp(r1 t)+C2exp(r2 t)=C1e^t+C2e^-9t

Passo 4

Agora aplicamos as condições iniciais. Primeiro y(1)=1:
C1e^1+C2e^-9=1
Em seguida derivamos: y'(t)=C1e^t-9C2e^-9t, e impomos y'(1)=0:
C1e^1-9C2e^-9=0

Passo 5

Temos o sistema em C1,C2:
C1e+C2e^-9=1,C1e-9C2e^-9=0
Da segunda equação C1e=9C2e^-9 logo C1=9C2e^-9/e. Substituindo na primeira:
$$9C_2e{-9}+C_2e{-9}=1\implies10C_2e^{-9}=1\
\implies C_2=\frac{1}{10}e^9.$$
Então 9C2e^-9+C2e^-9=1implies10C2e^-9=1 implies C2=110e^9.

Passo 6

Substituindo C1 e C2 na solução geral obtemos
$$y(t)=\frac{9}{10e}et+\frac{e9}{10}e^{-9t}= rac{9}{10}e{t-1}+\frac{1}{10}e{9-9t}.
$$

Resposta

y(t)=\frac{9}{10}\exp(t-1)+\frac{1}{10}\exp(9-9t)

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