Calcule a integral De usando a definição por limite. Com x0=0, x1=3n e x2=6n, ldots, xi=3in, .

Passo 1

O exercício nos pede para calcular integral0^3(x^3-6x),dx usando a definição de integral como limite de soma de Riemann. O conteúdo é integral definida por soma de Riemann, e vamos precisar da expressão De, dos pontos xi=3in e das fórmulas de somatório: sumi=1^ni e sumi=1^ni^3.

Passo 2

Começamos escrevendo a soma de Riemann usando os pontos xi à direita:
Rn=sumi=1^nf(xi),De

Passo 3

Calculamos o somatório de xi^3. Como xi=3in, temos
sumi=1^nxi^3=sumi=1^nl(3inr)^3=27n^3sumi=1^ni^3=27n^3cdotn^2(n+1)^24=27(n+1)^24n

Passo 4

Calculamos o somatório de xi.
sumi=1^nxi=sumi=1^n3in=3ncdotn(n+1)2=3(n+1)2

Passo 5

Substituímos esses resultados em Rn e simplificamos:
Rn=3nl(27(n+1)^24n-6cdot3(n+1)2r) =3nl(27(n+1)^24n-9(n+1)r) =-27n^2+54n+814n^2

Passo 6

Por fim, tiramos o limite ntoinfty:
limntoinftyRn=limntoinfty-27n^2+54n+814n^2=-274

Resposta

-\n27/4

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