Calcule a integral usando a fórmula de integração por partes com as escolhas de u e dv dadas.
6. integral arctg x d x ; u=arctg x, d v=d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular
integral arctan x ,dx
usando integração por partes com as escolhas
u = arctan x, dv = dx
Para isso, vamos usar a fórmula
integral u,dv = u,v - integral v,du

Passo 2

Com u = arctan x e dv = dx, calculamos
du = dx1+x^2, v = integral dx = x

Passo 3

Aplicando a fórmula de integração por partes, obtemos
integral arctan x ,dx = u,v - integral v,du = x,arctan x - integral x cdot dx1+x^2

Passo 4

Para calcular
integral x1+x^2,dx,
fazemos a substituição w = 1+x^2, logo dw = 2x,dx. Assim,
integral x1+x^2,dx = 12 integral dww = 12 lnl|wr| + C = 12 lnl(1+x^2r) + C

Passo 5

Substituindo de volta, concluímos
integral arctan x ,dx = x,arctan x - 12 lnl(1+x^2r) + C

Resposta

x,arctan x ;-;tfrac12lnl(1+x^2r) + C

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