Calcule a integral usando integração por partes.
8. integral(2 x+1) e^x d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
integral(2x+1)e^x,dx
usando integração por partes, cujo fórmula é
integral u,dv = u v - integral v,du

Passo 2

Note que
integral(2x+1)e^x,dx = integral 2x e^x,dx + integral e^x,dx
Vamos primeiro calcular integral 2x e^x,dx por partes.

Passo 3

Escolhemos
u = 2x, dv = e^x,dx
daí
du = 2,dx, v = e^x
Aplicando integração por partes:
integral 2x e^x,dx = 2x e^x - integral e^xcdot 2,dx

Passo 4

A integral restante é
integral 2e^x,dx = 2e^x
Portanto
integral 2x e^x,dx = 2x e^x - 2e^x

Passo 5

Agora somamos a outra parte:
integral(2x+1)e^x,dx = l(2x e^x - 2e^xr) + integral e^x,dx = 2x e^x - 2e^x + e^x + C
Agrupando termos semelhantes:
2x e^x - 2e^x + e^x = e^x(2x - 1)

Resposta

integral(2x+1)e^x,dx = e^x(2x - 1) + C

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