Calcule a integral usando a integração por partes:
integral x^5 cos (x) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
integral x^5cos(x),dx
usando integração por partes. Como temos um polinômio multiplicando uma função trigonométrica, vamos aplicar repetidamente a fórmula
integral u,dv = u,v - integral v,du
reduzindo o grau do polinômio até chegar a uma integral simples.

Passo 2

Começamos com
I5 = integral x^5cos(x),dx
Escolhendo u = x^5 e dv = cos(x),dx, temos du = 5x^4,dx e v = sin(x). Logo,
I5 = x^5sin(x) - 5integral x^4sin(x),dx
Agora aplicamos partes na integral integral x^4sin(x),dx com u = x^4, dv = sin(x),dx, de onde du = 4x^3,dx e v = -cos(x). Assim,
integral x^4sin(x),dx = -x^4cos(x) + 4integral x^3cos(x),dx
Substituindo de volta em I5:
I5 = x^5sin(x) + 5x^4cos(x) - 20integral x^3cos(x),dx

Passo 3

Definimos
I3 = integral x^3cos(x),dx
Aplicando partes com u = x^3, dv = cos(x),dx ( du = 3x^2,dx, v = sin(x)):
I3 = x^3sin(x) - 3integral x^2sin(x),dx
Em seguida, na integral integral x^2sin(x),dx escolhemos u = x^2, dv = sin(x),dx ( du = 2x,dx, v = -cos(x)):
integral x^2sin(x),dx = -x^2cos(x) + 2integral xcos(x),dx
Logo,
I3 = x^3sin(x) + 3x^2cos(x) - 6integral xcos(x),dx

Passo 4

Calculamos
I1 = integral xcos(x),dx
por partes com u = x, dv = cos(x),dx ( du = dx, v = sin(x)):
I1 = xsin(x) - integral sin(x),dx = xsin(x) + cos(x)

Passo 5

Substituímos I1 em I3:
I3 = x^3sin(x) + 3x^2cos(x) - 6l(xsin(x) + cos(x)r)
I3 = x^3sin(x) + 3x^2cos(x) - 6xsin(x) - 6cos(x)

Passo 6

Finalmente, voltamos a I5:
I5 = x^5sin(x) + 5x^4cos(x) - 20,I3
I5 = x^5sin(x) + 5x^4cos(x) -20l(x^3sin(x) + 3x^2cos(x) - 6xsin(x) - 6cos(x)r)
I5 = x^5sin(x) + 5x^4cos(x) -20x^3sin(x) -60x^2cos(x) +120xsin(x) +120cos(x)

Resposta

integral x^5cos(x),dx = x^5sin(x) + 5x^4cos(x) -20x^3sin(x) -60x^2cos(x) +120xsin(x) +120cos(x) + C

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