Esboce a região cuja área com sinal está representada pela integral, defina e calcule a integral usando uma fórmula apropriada de geometria onde for necessário:
integral0^4(2-x3) d x

Passo 1

O enunciado pede a integral
integral0^4l(2 - x3r),dx
e solicita que esbocemos a região no plano xy cuja área com sinal é dada por essa integral, além de calcular o valor da integral usando geometria. O conteúdo é “área sob o gráfico de uma função” e vamos aproveitar que f(x)=2 - tfracx3 é uma reta decrescente que permanece acima do eixo x no intervalo [0,4].

Passo 2

Esboçamos o gráfico de
y = f(x) = 2 - x3,
que em x=0 vale f(0)=2 e em x=4 vale
f(4)=2 - 43 = 21 - 43 = 6-43 = 23
A região solicitada é o trapézio delimitado pelo gráfico de f, pelo eixo x e pelas retas verticais x=0 e x=4. Como f(x)>=0 em todo o intervalo, a área com sinal coincide com a área usual desse trapézio.

Passo 3

A área A de um trapézio de bases B=f(0), b=f(4) e altura h=4 é dada por
A = B+b2,cdot h
Aqui B=2 e b=tfrac23, então
A = 2 + tfrac232,cdot 4 = tfrac63 + tfrac232,cdot 4 = tfrac832,cdot 4 = 43,cdot 4 = 163

Resposta

integral0^4l(2 - tfracx3r),dx = 163

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