Calcule as seguintes integrais curvilíneias de primeira espécie.
, onde
é o contorno do quadrado
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral curvilínea de primeira espécie:
. O contorno
é um quadrado definido pela equação
, onde
é um número positivo. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma integral curvilínea, parametrizar o contorno do quadrado e calcular a integral passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar o quadrado
. Esse é um quadrado centrado na origem com lados inclinados em 45 graus em relação aos eixos
e
. Vamos dividir o contorno
em 4 lados para facilitar a parametrização.
Passo 3
Vamos parametrizar cada lado do quadrado. Por exemplo, para o lado onde
vai de
a
e
, podemos definir uma parametrização diferente dependendo do segmento. Mas como é simétrico, podemos aproveitar a simetria para simplificar os cálculos.
Passo 4
Em cada segmento, expressamos
em função de
ou
em função de
, e calculamos
, que representa um pequeno elemento de comprimento ao longo do contorno. Para uma parametrização simples, consideramos que em cada lado,
pode ser expresso como
.
Passo 5
Vamos calcular a integral em cada um dos 4 lados do quadrado e depois somar os resultados. Devido à simetria, cada lado contribuirá de maneira equivalente para o resultado final.
Passo 6
Após parametrizar e calcular as integrais em cada lado, somamos todas as contribuições. Observamos que, por simetria, certas integrais se cancelam ou se somam de forma simplificada, facilitando o cálculo final.
Resposta
Finalizando os cálculos, a integral curvilínea
sobre o contorno do quadrado
é igual a
.