Calcule as seguintes integrais curvilíneias de primeira espécie.
integralC x y d s, onde C é o contorno do quadrado |x|+|y|=a(a>0).

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral curvilínea de primeira espécie: integralC x y , ds. O contorno C é um quadrado definido pela equação |x| + |y| = a, onde a é um número positivo. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma integral curvilínea, parametrizar o contorno do quadrado e calcular a integral passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar o quadrado |x| + |y| = a. Esse é um quadrado centrado na origem com lados inclinados em 45 graus em relação aos eixos x e y. Vamos dividir o contorno C em 4 lados para facilitar a parametrização.

Passo 3

Vamos parametrizar cada lado do quadrado. Por exemplo, para o lado onde x vai de a a -a e y = a - |x|, podemos definir uma parametrização diferente dependendo do segmento. Mas como é simétrico, podemos aproveitar a simetria para simplificar os cálculos.

Passo 4

Em cada segmento, expressamos y em função de x ou x em função de y, e calculamos ds, que representa um pequeno elemento de comprimento ao longo do contorno. Para uma parametrização simples, consideramos que em cada lado, ds pode ser expresso como raizdx^2 + dy^2.

Passo 5

Vamos calcular a integral em cada um dos 4 lados do quadrado e depois somar os resultados. Devido à simetria, cada lado contribuirá de maneira equivalente para o resultado final.

Passo 6

Após parametrizar e calcular as integrais em cada lado, somamos todas as contribuições. Observamos que, por simetria, certas integrais se cancelam ou se somam de forma simplificada, facilitando o cálculo final.

Resposta

Finalizando os cálculos, a integral curvilínea integralC x y , ds sobre o contorno do quadrado |x| + |y| = a é igual a 0.

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