Esboce a região cuja área com sinal está representada pela integral, defina e calcule a integral usando uma fórmula apropriada de geometria onde for necessário:
integral-3^2(x+2) d x

Passo 1

O enunciado pede para esboçar a região entre a reta
y = x + 2
e o eixo x, no intervalo de x=-3 até x=2, e depois calcular
integral-3^2(x+2),dx
usando fórmulas de geometria. O conteúdo é área com sinal de uma função linear, que podemos decompor em triângulos.

Passo 2

Para desenhar, basta saber onde a reta cruza o eixo x. Resolve-se
x + 2 = 0
x = -2
Logo, de x=-3 a x=-2 a reta está abaixo do eixo x (área negativa) e de x=-2 a x=2 ela fica acima (área positiva).

Passo 3

Separamos a integral em dois trechos:
integral-3^2(x+2),dx =integral-3^-2(x+2),dx +integral-2^2(x+2),dx

Passo 4

Cálculo das áreas por geometria:
  1. De -3 a -2, a imagem vai de y(-3)=-1 até y(-2)=0. É um triângulo de base 1 e altura 1, sob o eixo x, logo
integral-3^-2(x+2),dx = -1cdot12 = -12
  1. De -2 a 2, a imagem vai de y(-2)=0 até y(2)=4. É um triângulo de base 4 e altura 4, acima do eixo, portanto
integral-2^2(x+2),dx = +4cdot42 = 8

Passo 5

Somando as duas parcelas:
-12 + 8 = 152

Resposta

integral-3^2(x+2),dx = 152

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