Calcule a integral usando integração por partes.
12. integral x sen(3-x) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular
integral x,sin(3 - x),dx
usando integração por partes, cuja fórmula é
integral u,dv = u,v - integral v,du

Passo 2

Escolhemos
u = x, dv = sin(3 - x),dx
Então
du = dx
e precisamos achar
v = integral sin(3 - x),dx
Para isso, fazemos a substituição interna
w = 3 - x Longrightarrow dw = -,dx,
de modo que
integral sin(3 - x),dx = integral sin(w),(-dw) = -integral sin w,dw = cos w = cos(3 - x)

Passo 3

Aplicando a fórmula de integração por partes:
integral x,sin(3 - x),dx = x,cos(3 - x) - integral cos(3 - x),dx

Passo 4

Calculemos agora
integral cos(3 - x),dx
Usando de novo w = 3 - x, dw = -dx, vem
integral cos(3 - x),dx = -integral cos w,dw = -sin w = -sin(3 - x)

Passo 5

Substituindo em xcos(3 - x) - integral cos(3 - x),dx, obtemos
integral x,sin(3 - x),dx = x,cos(3 - x) - l(-sin(3 - x)r) + C = x,cos(3 - x) + sin(3 - x) + C

Resposta

boxedintegral x,sin(3 - x),dx = x,cos(3 - x) + sin(3 - x) + C

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