Calcule a integral usando integração por partes.
15. integral e^-x sen x d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular
I = integral e^-xsin x ,dx
usando a técnica de integração por partes, que se baseia na fórmula
integral u,dv = u,v - integral v,du

Passo 2

Escolhemos
u = sin x, dv = e^-xdx
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du = cos x,dx, v = integral e^-xdx = -e^-x
Aplicando a fórmula:
I = integral e^-xsin x,dx = u,v - integral v,du = -e^-xsin x - integrall(-e^-xcos xr),dx = -e^-xsin x + integral e^-xcos x,dx

Passo 3

Defina
J = integral e^-xcos x,dx
Para calcular J, aplique partes de novo com
u = cos x, dv = e^-xdx,
de modo que
du = -sin x,dx, v = -e^-x
Então
J = u,v - integral v,du = -e^-xcos x - integrall(-e^-xcdot(-sin x)r),dx = -e^-xcos x - integral e^-xsin x,dx = -e^-xcos x - I

Passo 4

Retornando à expressão de I do Passo 2, temos
I = -e^-xsin x + J = -e^-xsin x + l(-e^-xcos x - Ir) = -e^-x(sin x + cos x) - I
Isolando I:
2I = -e^-x(sin x + cos x) Longrightarrow I = -e^-x2,l(sin x + cos xr) + C

Resposta

boxed,integral e^-xsin x,dx = -e^-x2,l(sin x + cos xr) + C

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