Calcule a integral usando integração por partes.
14. integral x^2 cos 3 x d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
integral x^2cos(3x),dx
usando o método de integração por partes, cuja fórmula é
integral u,dv = u,v - integral v,du

Passo 2

Escolhemos
u = x^2, dv = cos(3x),dx
Então
du = 2x,dx, v = integral cos(3x),dx = tfrac13sin(3x)
Aplicando a fórmula:
integral x^2cos(3x),dx = x^2cdottfrac13sin(3x) - integral tfrac13sin(3x)cdot 2x,dx = x^23sin(3x) - 23integral xsin(3x),dx

Passo 3

Agora calculamos integral xsin(3x),dx por partes de novo, com
u1=x, dv1=sin(3x),dx
du1=dx, v1=integral sin(3x),dx = -tfrac13cos(3x)
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integral xsin(3x),dx = xcdotl(-tfrac13cos(3x)r) - integral l(-tfrac13cos(3x)r),dx = -x3cos(3x) + 19sin(3x)

Passo 4

Substituindo de volta em
integral x^2cos(3x),dx = x^23sin(3x) - 23integral xsin(3x),dx, obtemos
integral x^2cos(3x),dx = x^23sin(3x) - 23l(-x3cos(3x) + 19sin(3x)r) + C

Passo 5

Distribuindo e simplificando:
integral x^2cos(3x),dx = x^23sin(3x) + 2x9cos(3x) - 227sin(3x) + C
ou, agrupando em sin(3x):
integral x^2cos(3x),dx = l(x^23-227r)sin(3x) + 2x9cos(3x) + C

Resposta

integral x^2cos(3x),dx = x^23sin(3x) + 2x9cos(3x) - 227sin(3x) + C

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