Calcule a integral usando integração por partes.
16. integral e^x sen 2 x d x

Passo 1

Temos a integral
integral e^xsin 2x,dx,
que envolve produto de função exponencial com função trigonométrica. Para resolver, vamos usar a técnica de integração por partes, aplicando-a duas vezes até obter uma equação que permita isolar a integral original.

Passo 2

Chame
I = integral e^xsin 2x,dx
Aplique integração por partes com u = e^x e dv = sin 2x,dx. Então du = e^x,dx e
v = integral sin 2x,dx = -12cos 2x
Logo
I = uv - integral v,du = -12e^xcos 2x + 12integral e^xcos 2x,dx
Defina
J = integral e^xcos 2x,dx
para organizar os cálculos.

Passo 3

Para achar J, use integração por partes com u = e^x e dv = cos 2x,dx. Então du = e^x,dx e
v = integral cos 2x,dx = 12sin 2x
Assim
J = uv - integral v,du = 12e^xsin 2x - 12integral e^xsin 2x,dx = 12e^xsin 2x - 12I

Passo 4

Volte à expressão de I:
I = -12e^xcos 2x + 12J = -12e^xcos 2x + 12l(12e^xsin 2x - 12Ir)
Isso gera
I = -12e^xcos 2x + 14e^xsin 2x - 14I Longrightarrow 54I = e^xl(-12cos 2x + 14sin 2xr)
Portanto
I = 45e^xl(-12cos 2x + 14sin 2xr) = e^x5l(sin 2x - 2cos 2xr) + C

Resposta

integral e^xsin 2x,dx = e^x5l(sin 2x - 2cos 2xr) + C

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