Calcule a integral usando integração por partes.
31. integral x^2 cosh x d x

Passo 1

Nesse exercício, vamos calcular a integral integral x^2cosh x,dx usando a técnica de integração por partes. Para isso, precisamos da fórmula integral u,dv = u,v - integral v,du, saber que a derivada de um polinômio reduz o grau e que a primitiva de cosh x é sinh x.

Passo 2

Escolhemos u = x^2 e dv = cosh x,dx. Assim, derivando e integrando, obtemos du = 2x,dx e v = sinh x. Substituindo na fórmula de partes, fica:
integral x^2cosh x,dx = x^2sinh x - integral 2xsinh x,dx

Passo 3

Para calcular integral 2xsinh x,dx, aplicamos integração por partes de novo. Agora escolhemos u = 2x e dv = sinh x,dx, logo du = 2,dx e v = cosh x. Assim,
integral 2xsinh x,dx = 2xcosh x - integral 2cosh x,dx = 2xcosh x - 2sinh x

Passo 4

Substituindo esse resultado de volta na expressão original, obtemos
integral x^2cosh x,dx = x^2sinh x - l(2xcosh x - 2sinh xr) + C = x^2sinh x - 2xcosh x + 2sinh x + C

Resposta

x^2sinh x - 2xcosh x + 2sinh x + C

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