Calcule a integral usando integração por partes.
32. integral cos x cosh x d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular
I = integral cos x ,cosh x ,dx
usando integração por partes. Vamos usar a fórmula
integral u,dv = u,v - integral v,du
e lembrar que tfracddxcosh x = sinh x e tfracddxsinh x = cosh x.

Passo 2

Escolhemos
u = cosh x, dv = cos x,dx
Então
du = sinh x,dx, v = integral cos x,dx = sin x
Aplicando integração por partes:
I = u,v - integral v,du = sin x,cosh x - integral sin x,sinh x ,dx

Passo 3

Definimos
J = integral sin x,sinh x ,dx
e calculamos J por partes, escolhendo
u = sinh x, dv = sin x,dx
Logo
du = cosh x,dx, v = integral sin x,dx = -cos x,
e
J = u,v - integral v,du = -cos x,sinh x + integral cos x,cosh x ,dx = -cos x,sinh x + I

Passo 4

Voltando à expressão de I:
I = sin x,cosh x - J = sin x,cosh x -l(-cos x,sinh x + Ir) = sin x,cosh x + cos x,sinh x - I
Então
2I = sin x,cosh x + cos x,sinh x Longrightarrow I = tfrac12l(sin x,cosh x + cos x,sinh xr) + C

Resposta

tfrac12l(sin x,cosh x + cos x,sinh xr) + C

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