Nos problemas abaixo, determine se a função dada é uma solução para a equação diferencial indicada.
theta=2 e^3 t-e^2 t, d^2 thetad t^2-theta d thetad t+3 theta=-2 e^2 t

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a função
theta(t)=2e^3t-e^2t
é solução da equação diferencial
d^2thetadt^2 - theta,dthetadt + 3theta = -2e^2t
Para isso, precisamos calcular dthetadt e d^2thetadt^2, substituir na equação e verificar se o resultado coincide com -2e^2t.

Passo 2

Derivando theta(t) uma vez e duas vezes, obtemos
dthetadt =6e^3t-2e^2t, d^2thetadt^2 =18e^3t-4e^2t

Passo 3

Calculemos o termo d^2thetadt^2 + 3theta:
d^2thetadt^2 + 3theta =(18e^3t-4e^2t) + 3(2e^3t-e^2t) =24e^3t-7e^2t

Passo 4

Agora o produto theta,dthetadt:
theta,dthetadt =(2e^3t-e^2t)(6e^3t-2e^2t) =12e^6t-10e^5t+2e^4t

Passo 5

Substituindo em dfracd^2thetadt^2 - theta,dfracdthetadt + 3theta:
l(24e^3t-7e^2tr) - l(12e^6t-10e^5t+2e^4tr) =-12e^6t+10e^5t-2e^4t+24e^3t-7e^2t

Passo 6

Comparando com o lado direito -2e^2t, vemos que surgem termos em e^6t,e^5t,e^4t,e^3t que não cancelam, então
d^2thetadt^2 - theta,dthetadt + 3theta neq -2e^2t

Resposta

Não. A função theta(t)=2e^3t-e^2t não satisfaz a equação diferencial dada.

Exercícios relacionados