Nos problemas abaixo, determine se a função dada é uma solução para a equação diferencial indicada.
y=3 sin 2 x+e^-x, y^prime prime+4 y=5 e^-x

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a função y=3sin2x+e^-x resolve a equação diferencial y''+4y=5e^-x. Isso cai em “teste de solução” de EDOs de 2º ordem: a ideia é derivar, substituir na equação e conferir se o lado esquerdo bate com o direito.

Passo 2

Primeiro vamos executar a teoria de derivação termo a termo. Derivando y uma vez, usamos que tfracddx[sin2x]=2cos2x e tfracddx[e^-x]=-e^-x. Assim obtemos:
y'=6cos2x - e^-x

Passo 3

Agora derivamos de novo para achar y''. Sabendo que tfracddx[cos2x]=-2sin2x e tfracddx[-e^-x]=e^-x, fica:
y''=-12sin2x + e^-x

Passo 4

Chegou a hora do plug-in. Calculamos o lado esquerdo y''+4y:
y''+4y = (-12sin2x + e^-x) + 4(3sin2x + e^-x)
Agrupando termos de sin2x e e^-x:
y''+4y = (-12+12)sin2x + (1+4)e^-x = 5e^-x

Passo 5

Vimos que, após simplificar, y''+4y coincide exatamente com o termo direito 5e^-x. Logo, a função dada é de fato uma solução da EDO.

Resposta

Sim, y=3sin2x+e^-x satisfaz y''+4y=5e^-x.

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