Nos problemas a seguir, determine se a relação dada é uma solução implícita para a equação diferencial dada. Considere que o relacionamento define y implicitamente como uma função de x e use a diferenciação implícita.
y-ln y=x^2+1, d yd x=2 x yy-1

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente verificar se a relação y - ln y = x^2 + 1 é uma solução implícita para a equação diferencial dydx = 2xyy - 1 . Para isso, vamos usar diferenciação implícita, que é uma técnica para encontrar a derivada quando y não está isolado. Vamos precisar lembrar como derivar funções envolvendo y em relação a x .

Passo 2

Primeiro, vamos diferenciar ambos os lados da equação y - ln y = x^2 + 1 em relação a x . Lembre-se que, ao derivar y em relação a x , usamos dydx (que é o que queremos encontrar).
Derivando o lado esquerdo:
  • A derivada de y em relação a x é dydx .
  • A derivada de ln y em relação a x é 1y cdot dydx (usando a regra da cadeia).
Então, a derivada do lado esquerdo fica:
dydx - 1y cdot dydx
Derivando o lado direito:
  • A derivada de x^2 é 2x .
  • A derivada de uma constante, como 1, é 0.
Então, a derivada do lado direito fica:
2x

Passo 3

Agora, igualamos as derivadas dos dois lados:
dydx - 1y cdot dydx = 2x
Para resolver para dydx , vamos fatorar:
dydx (1 - 1y) = 2x
Simplificando dentro do parêntese:
dydx cdot y - 1y = 2x
Agora, isolamos dydx :
dydx = 2x cdot yy - 1

Resposta

Sim, a relação y - ln y = x^2 + 1 é uma solução implícita para a equação diferencial dydx = 2xyy - 1 .

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