Nos problemas a seguir, determine se a relação dada é uma solução implícita para a equação diferencial dada. Considere que o relacionamento define
implicitamente como uma função de
e use a diferenciação implícita.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente verificar se a relação
é uma solução implícita para a equação diferencial
. Para isso, vamos usar diferenciação implícita, que é uma técnica para encontrar a derivada quando
não está isolado. Vamos precisar lembrar como derivar funções envolvendo
em relação a
.
Passo 2
Primeiro, vamos diferenciar ambos os lados da equação
em relação a
. Lembre-se que, ao derivar
em relação a
, usamos
(que é o que queremos encontrar).
Derivando o lado esquerdo:
- A derivada de
em relação a é . - A derivada de
em relação a é (usando a regra da cadeia).
Então, a derivada do lado esquerdo fica:
Derivando o lado direito:
- A derivada de
é . - A derivada de uma constante, como 1, é 0.
Então, a derivada do lado direito fica:
Passo 3
Agora, igualamos as derivadas dos dois lados:
Para resolver para
, vamos fatorar:
Simplificando dentro do parêntese:
Agora, isolamos
:
Resposta
Sim, a relação
é uma solução implícita para a equação diferencial
.