Calcule a integral usando integração por partes.
33. integral arctgh 4 x d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular
integral arctgh(4x),dx
usando integração por partes. O conteúdo envolvido é a fórmula
integral u,dv = u,v - integral v,du
e a derivada de arctgh(u), que é
ddxl[arctgh(u)r] =u'1-u^2

Passo 2

Escolhemos as partes de modo a simplificar a integral:
u = arctgh(4x), dv = dx

Passo 3

Calculamos du e v:
du = 41-(4x)^2,dx = 41-16x^2,dx, v = integral dv = x

Passo 4

Aplicando a fórmula de integração por partes:
integral arctgh(4x),dx = x,arctgh(4x) - integral xcdot 41-16x^2,dx

Passo 5

Para calcular
integral 4x1-16x^2,dx
fazemos a substituição
t = 1-16x^2 ;Rightarrow; dt = -32x,dx ;Rightarrow; x,dx = -dt32
Logo,
integral 4x1-16x^2,dx =4integral xt,dx =4integral -dt/32t =-432integral dtt =-18lnl|tr| + C =-18lnl|1-16x^2r| + C

Passo 6

Substituindo de volta na integração por partes:
integral arctgh(4x),dx = x,arctgh(4x) - l(-tfrac18lnlvert1-16x^2rvertr) + C = x,arctgh(4x) +18lnl|1-16x^2r| + C

Resposta

boxed integral arctgh(4x),dx = x,arctgh(4x) +18lnl|1-16x^2r| + C

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