Nos problemas a seguir, determine se a relação dada é uma solução implícita para a equação diferencial dada. Considere que o relacionamento define
implicitamente como uma função de
e use a diferenciação implícita.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para verificar se a relação
é uma solução implícita da equação diferencial
. Aqui, estamos trabalhando com equações diferenciais e diferenciação implícita. Para resolver isso, vamos precisar usar a diferenciação implícita para encontrar
a partir da relação dada e comparar com a equação diferencial fornecida.
Passo 2
Primeiro, vamos diferenciar ambos os lados da equação
em relação a
. Lembre-se que, quando diferenciamos
em relação a
, usamos a regra da cadeia porque
é uma função de
.
Então, a derivada de
em relação a
é
.
A derivada de
em relação a
é
.
E a derivada de uma constante, como 4, é 0.
Passo 3
Colocando tudo isso na equação diferenciada, temos:
Agora, nosso objetivo é isolar
.
Passo 4
Vamos resolver para
:
Dividindo ambos os lados por
:
Passo 5
Agora, comparamos o
que encontramos com a equação diferencial dada:
- Do nosso cálculo:
- Da equação diferencial:
Observamos que eles são opostos: um é
e o outro é
.
Resposta
Não, a relação
não é uma solução implícita da equação diferencial
, já que as derivadas são opostas.