Nos problemas a seguir, determine se a relação dada é uma solução implícita para a equação diferencial dada. Considere que o relacionamento define y implicitamente como uma função de x e use a diferenciação implícita.
x^2+y^2=4, d yd x=xy

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para verificar se a relação x^2 + y^2 = 4 é uma solução implícita da equação diferencial dydx = xy . Aqui, estamos trabalhando com equações diferenciais e diferenciação implícita. Para resolver isso, vamos precisar usar a diferenciação implícita para encontrar dydx a partir da relação dada e comparar com a equação diferencial fornecida.

Passo 2

Primeiro, vamos diferenciar ambos os lados da equação x^2 + y^2 = 4 em relação a x . Lembre-se que, quando diferenciamos y^2 em relação a x , usamos a regra da cadeia porque y é uma função de x .
Então, a derivada de x^2 em relação a x é 2x .
A derivada de y^2 em relação a x é 2y cdot dydx .
E a derivada de uma constante, como 4, é 0.

Passo 3

Colocando tudo isso na equação diferenciada, temos:
2x + 2y cdot dydx = 0
Agora, nosso objetivo é isolar dydx .

Passo 4

Vamos resolver para dydx :
2y cdot dydx = -2x
Dividindo ambos os lados por 2y :
dydx = -xy

Passo 5

Agora, comparamos o dydx que encontramos com a equação diferencial dada:
  • Do nosso cálculo: dydx = -xy
  • Da equação diferencial: dydx = xy
Observamos que eles são opostos: um é -xy e o outro é xy .

Resposta

Não, a relação x^2 + y^2 = 4 não é uma solução implícita da equação diferencial dydx = xy , já que as derivadas são opostas.

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