Calcule a integral usando integração por partes.
34. integral arcsenh x d x

Passo 1

O enunciado pede calcular
integral arcsenhx,dx
usando integração por partes. O conteúdo principal é a fórmula
integral u,dv = u,v - integral v,du
e o fato de que
ddxl(arcsenhxr)=1raiz1+x^2

Passo 2

Escolhemos
u = arcsenhx, dv = dx
Então
du = 1raiz1+x^2,dx, v = x

Passo 3

Aplicando a fórmula de partes:
integral arcsenhx,dx = x;arcsenhx ;-;integral x;1raiz1+x^2,dx

Passo 4

Para calcular
integral xraiz1+x^2,dx,
faça a substituição t = 1+x^2, de modo que dt = 2x,dx. Logo,
integral xraiz1+x^2,dx = integral 12,dtraizt = 12cdot 2raizt = raiz1+x^2

Resposta

integral arcsenhx,dx = x;arcsenhx ;-;raiz1+x^2 + C

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