Determine e esboce a área da região delimitada pelas curvas fornecidas. Decida se é preferível integrar em relação a x ou a y.
para
.
Passo 1
Resumo do enunciado: queremos a área da região do primeiro quadrante limitada pelas curvas
para
. O conteúdo aqui é cálculo de área por integrais definidas, e vamos precisar:
- Identificar os pontos de interseção das curvas.
- Escolher se é mais simples integrar em
ou em . - Montar a(s) integral(is) e calcular.
Passo 2
Vamos achar os pontos onde as curvas se cruzam:
- Interseção de
com : - Interseção de
com : - As retas
e se cruzam em , ou seja, em .
Passo 3
Esboçando mentalmente, a região é um “triângulo curvo” com vértices em
,
e
.
- Entre
e , a parte de cima é e a de baixo é . - Entre
e , a parte de cima é e a de baixo continua .
Fica natural usar integrais em, pois cada fatia vertical tem limites simples e só muda de fórmula em .
Passo 4
Escrevendo a área como soma de duas integrais em
:
Passo 5
Calculando cada parte:
- Para
, - Para
,1<= x<=2 integral1^2l(tfrac1x - tfrac x4r),dx = l[ln x - tfracx^28r]1^2 = l(ln2 - tfrac48r) - l(0 - tfrac18r) = ln2 - tfrac12 + tfrac18 = ln2 - tfrac38
Somando as partes,