Determine e esboce a área da região delimitada pelas curvas fornecidas. Decida se é preferível integrar em relação a x ou a y.
y=1 / x, y=x, y=x / 4 para x>0.

Passo 1

Resumo do enunciado: queremos a área da região do primeiro quadrante limitada pelas curvas
y = 1x, y = x, y = x4,
para x>0. O conteúdo aqui é cálculo de área por integrais definidas, e vamos precisar:
  1. Identificar os pontos de interseção das curvas.
  2. Escolher se é mais simples integrar em x ou em y.
  3. Montar a(s) integral(is) e calcular.

Passo 2

Vamos achar os pontos onde as curvas se cruzam:
  1. Interseção de y=x com y=tfrac1x: x = 1x Longrightarrow x^2 = 1 Longrightarrow x=1 (positivo), y=1
  2. Interseção de y=tfrac x4 com y=tfrac1x: x4 = 1x Longrightarrow x^2=4 Longrightarrow x=2, y=12
  3. As retas y=x e y=tfrac x4 se cruzam em x=x/4implies x=0, ou seja, em (0,0).

Passo 3

Esboçando mentalmente, a região é um “triângulo curvo” com vértices em (0,0), (1,1) e (2,tfrac12).
  • Entre x=0 e x=1, a parte de cima é y=x e a de baixo é y=tfrac x4.
  • Entre x=1 e x=2, a parte de cima é y=tfrac1x e a de baixo continua y=tfrac x4.
    Fica natural usar integrais em x, pois cada fatia vertical tem limites simples e só muda de fórmula em x=1.

Passo 4

Escrevendo a área como soma de duas integrais em x:
A = integral0^1l(x - tfrac x4r),dx ;+; integral1^2l(tfrac1x - tfrac x4r),dx

Passo 5

Calculando cada parte:
  1. Para 0<= x<=1, integral0^1l(x - tfrac x4r),dx = integral0^1!tfrac3x4,dx = 34,x^22|0^1 = 38
  2. Para 1<= x<=2, integral1^2l(tfrac1x - tfrac x4r),dx = l[ln x - tfracx^28r]1^2 = l(ln2 - tfrac48r) - l(0 - tfrac18r) = ln2 - tfrac12 + tfrac18 = ln2 - tfrac38
Somando as partes,
A = 38 + l(ln2 - tfrac38r) = ln2

Resposta

ln2

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