Considere que c>0. Mostre que a função phi(x)=(c^2-x^2)^-1 é uma solução para o PVI d y / d x=2 x y^2, y(0)=1 / c^2, no intervalo -c<x<c. Observe que essa solução torna-se ilimitada quando x aproxima-se de pm c. Assim, a solução existe no intervalo (de<a, de<a) com de<a=c, mas não para de<a maior. Isso ilustra que, no Teorema de Existência e Unicidade, o intervalo de existência pode ser muito pequeno (se c for pequeno) ou muito grande (se c for grande). Observe também que não existe uma dica da própria equação d y / d x=2 x y^2, ou do valor inicial, de quea solução estoura em x= pm c.

Passo 1

O enunciado nos dá o PVI
dydx=2xy^2, y(0)=1c^2, c>0,
e propõe a função
phi(x)=l(c^2-x^2r)^-1
como possível solução no intervalo -c<x<c. Vamos verificar que phi satisfaz tanto a equação diferencial quanto a condição inicial, e depois discutir o intervalo de existência.

Passo 2

Verificação da condição inicial. Basta avaliar phi em x=0:
phi(0)=l(c^2-0^2r)^-1=1c^2,
que coincide exatamente com y(0)=1/c^2.

Passo 3

Verificação da equação diferencial. Calculamos phi'(x) usando regra da cadeia:
phi(x)=(c^2-x^2)^-1 Longrightarrow phi'(x)=-1,(c^2-x^2)^-2,l(-2xr) =2x,(c^2-x^2)^-2
Como phi(x)=(c^2-x^2)^-1, temos
phi'(x)=2xl(c^2-x^2r)^-2 =2xl((c^2-x^2)^-1r)^2 =2x,l(phi(x)r)^2,
o que mostra phi'(x)=2x,phi(x)^2. Portanto, phi satisfaz a equação ,dy/dx=2xy^2.

Passo 4

Determinação do intervalo de existência. A expressão phi(x)=(c^2-x^2)^-1 está bem definida e é C^1 sempre que c^2-x^2neq0, isto é, para |x|neq c. Como queremos uma solução que contenha x=0, o maior intervalo conectado em torno de 0 onde phi existe é
(-c,c)

Passo 5

Comportamento de explosão. Ao aproximar x de +c ou de -c, o fator c^2-x^2 tende a zero positivo, logo
phi(x)=1c^2-x^2longrightarrow+infty
Isso mostra que a solução se torna ilimitada em x=pm c e não pode ser estendida além de (-c,c).

Resposta

A função
phi(x)=1c^2-x^2
é solução do PVI ,dy/dx=2xy^2,;y(0)=1/c^2 no intervalo (-c,c) e torna-se ilimitada quando xtopm c.

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