Considere que
. Mostre que a função
é uma solução para o PVI
, no intervalo
. Observe que essa solução torna-se ilimitada quando
aproxima-se de
. Assim, a solução existe no intervalo
, mas não para
maior. Isso ilustra que, no Teorema de Existência e Unicidade, o intervalo de existência pode ser muito pequeno (se
for pequeno) ou muito grande (se
for grande). Observe também que não existe uma dica da própria equação
, ou do valor inicial, de quea solução estoura em
.
Passo 1
O enunciado nos dá o PVI
e propõe a função
como possível solução no intervalo
. Vamos verificar que
satisfaz tanto a equação diferencial quanto a condição inicial, e depois discutir o intervalo de existência.
Passo 2
Verificação da condição inicial. Basta avaliar
em
:
que coincide exatamente com
.
Passo 3
Verificação da equação diferencial. Calculamos
usando regra da cadeia:
Como
, temos
o que mostra
. Portanto,
satisfaz a equação
.
Passo 4
Determinação do intervalo de existência. A expressão
está bem definida e é
sempre que
, isto é, para
. Como queremos uma solução que contenha
, o maior intervalo conectado em torno de
onde
existe é
Passo 5
Comportamento de explosão. Ao aproximar
de
ou de
, o fator
tende a zero positivo, logo
Isso mostra que a solução se torna ilimitada em
e não pode ser estendida além de
.
Resposta
A função
é solução do PVI
no intervalo
e torna-se ilimitada quando
.