Calcule a integral usando a integração por partes com as escolhas de u e d v indicadas.
integral x^2 cos 3 x d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular
integral x^2cos(3x),dx
usando o método de integração por partes. Vamos aplicar a fórmula
integral u,dv = u,v - integral v,du
escolhendo adequadamente u e dv.

Passo 2

Escolhemos
u = x^2, dv = cos(3x),dx
Então
du = 2x,dx, v = integral cos(3x),dx = 13sin(3x)
Pela fórmula de partes,
integral x^2cos(3x),dx = x^2cdot13sin(3x) - integral 13sin(3x)cdot 2x,dx

Passo 3

Fatorando constantes, obtemos
integral x^2cos(3x),dx = x^2sin(3x)3 - 23integral x,sin(3x),dx
Agora precisamos calcular integral x,sin(3x),dx.

Passo 4

Para integral x,sin(3x),dx, aplicamos outra vez partes com
u2 = x, dv2 = sin(3x),dx,
logo
du2 = dx, v2 = integral sin(3x),dx = -13cos(3x)
Temos
integral x,sin(3x),dx = xl(-13cos(3x)r) - integral l(-13cos(3x)r),dx = -xcos(3x)3 + 13integral cos(3x),dx
Como integral cos(3x),dx = tfrac13sin(3x), resulta
integral x,sin(3x),dx = -xcos(3x)3 + 19sin(3x)

Passo 5

Substituindo de volta em
integral x^2cos(3x),dx, vem
integral x^2cos(3x),dx = x^2sin(3x)3 - 23l(-xcos(3x)3 + 19sin(3x)r) + C
Distributindo e simplificando, obtemos
integral x^2cos(3x),dx = x^2sin(3x)3 + 2xcos(3x)9 - 2sin(3x)27 + C

Resposta

boxedintegral x^2cos(3x),dx = x^2sin(3x)3 + 2xcos(3x)9 - 2sin(3x)27 + C

Exercícios relacionados